高中數學恒成立常見問題及求解策略

蘇文慧

（山東省濱州市濱州實驗中學2016級10班，山東 濱州）

恒成立作為高中數學中常見的問題，其涵蓋了函數、不等式、幾何等多種數學知識，求解恒成立問題是對高中生數學知識掌握能力與靈活運用能力的系統考查。通過運用不同解題方法，可以有效將數學知識串聯成體系，對培養高中生形成完備的數學思維有著極大的助益。

一、應用函數法解決恒成立問題

以下題為例，已知存在x∈R，使得不等式nx2+2x+3＞0恒成立，求n的取值范圍。針對此題進行求解，可引入二次函數知識，設二次函數f（x）=nx2+2x+3，并畫出函數圖象。通過圖象可得知，當n=0時，不等式成立；當n＞0時，可求得二次函數圖象開口向上，選取x軸上方部分；當n＜0時，同理也選取x軸上方部分。經過以上針對n的分情況討論與計算，從而得出n的取值范圍為（0，3）。

二、應用分離參數法解決恒成立問題

當解決帶有參數的恒成立問題時，應用分離參數法將其中的參數提取出來，將不等式變形，可以使得原有的復雜恒成立問題得到簡化與快速解答。以下題為例，存在x∈R滿足不等式4m+sinx+m2≥0，且該不等式恒成立，求m的取值范圍。在求解這道題時，我們可以發現其中包含了x和m兩個變量，且m含有二次項，因此在處理此問題時可先將不等式變形，將不等號的一端轉化為只含有m的方程，另一端只含有x，從而得到代數式m2-4m，然后將不等式另一端整體看做一個函數，求解出函數最值。接下來考慮關于m的代數式，可得出不等式m2-4m＞5，最終求得m的取值范圍。

三、應用變化主元法解決恒成立問題

在求解恒成立問題的過程中，經常需要證明不等式，涉及許多參量變化。由于常見的思維定式，我們往往習慣把多元不等式看成是關于x的不等式[1]。而通過對參量進行還原處理，可以高效便捷地解決恒成立問題。以下題為例，對于任意的倘若能夠使函數f（x）=ax2-2x+1-a＜0恒成立，求x的取值范圍。通常在面對恒成立問題時，往往會先結合題目中直接所給出的條件進行求解，無法判斷求解方法是否便捷有效。因此，在進行此類問題求解時應當對所給題目進行詳盡的分析，長此以往，能夠有助于形成做題習慣、積累經驗，從而提高審題速度與解題效果。在求解此題目時，可以先設從而使得題目轉化為 g（a）=（x-1）2a+1-2x＜0 在［-2，2］上恒成立，則可以得出最終解得在求解多元不等式問題時，解題思路的關鍵在于確定將哪個變量作為主元，本題將a定義為主元，將題目轉化為a的一次函數小于0恒成立問題，可以有效省去變量分離時分類討論步驟，使解題步驟得到了有效簡化。

四、應用構造法解決恒成立問題

（一）復數構造法

通過以往知識的學習，我們都了解到復數由實部和虛部兩部分組成，而復數的部分性質與實數有一定聯系，因此可以借助復數的構造求解不等式恒成立問題。以下題為例，已知存在x，y∈R，求證解決此題時可以結合不等式特點，設 z1=x+yi，z2=（x-3）+（y+4）i，利用絕對值不等式特性進行計算，再將結果帶入不等式中即可求解。由此看出，可以通過構造函數證明不等式恒成立問題，我們所構造的函數或者其他的數學形式應該是一種條件構造，也就是要構造出外延和擴大的表達形式，利用其對縮小形式進行證明，但這個過程不可顛倒，否則會導致錯誤的結論[2]。

（二）幾何構造法

在解決關于不等式的恒成立問題時，通常要應用構造幾何圖形或函數的方式進行計算，可將幾何中求最值問題與不等式所包含的條件進行有機結合，完成問題解答。以下題為例，已知等式當進行此題解答時，可將該等式看做橢圓方程的復數形式的反映，將不等式證明問題轉變為橢圓方程上的點到定點的最大距離為設橢圓上存在任意一點cosθ，2sinθ），計算點M到點P的距離，利用的特性進行代入，便可以有效求得答案。

總而言之，高中數學中恒成立常見問題可以通過多種策略進行求解，關鍵在于解題思路的深度拓展，綜合運用既往掌握的數學知識，尋求最優方法進行問題解答，在掌握扎實基礎知識的前提下學會靈活應變，從而提高數學能力。