初等數學中的三個規律

張爾光

【摘 要】本文對筆者發現的“二至九位數自然數的順序數與倒序數之間的差”的規律性，自然數的二至五位數的奇數順序數與倒序數兩者之間的差及二至四位數的偶數順序數與倒序數兩者之間的差的規律性，自然數“倒序數的后位數相加之和”的規律性，通過實例證明，做出了肯定的結論。

【關鍵詞】自然數；順序數；倒序數；差；9；規律

中圖分類號： G633.6 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）32-0191-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.32.089

筆者研究發現的初等數學中的三個規律是指，（1）二至九位數自然數的順序數與倒序數兩者之間的差為“9×（自然數倒序數相加之和）之積；（2）自然數的二至五位數的奇數順序數與倒序數兩者之間的差，二至四位數的偶數順序數與倒序數兩者之間的差，均為“9×2×（自然數倒序數相加之和）之積”；（3）自然數“倒序數的后位數相加之和”為該倒序數與同位順序數兩者之差除以9之商。本文就此三個規律逐一進行證明。

規律1 二至九位數自然數的順序數與倒序數兩者之間的差為“9×（自然數倒序數相加之和）之積。

1）兩位數自然數的順序數與倒序數兩者之間的差，為“9×一位數倒序數1之積”，即：9×1=9

例證1 21-12=9×1=9

例證2 32-23=9×1=9

例證3 43-34=9×1=9

“54-45=9”至“98-89=9”之證明略。

2）三位數自然數的順序數與倒序數兩者之間的差，為“9×（二位數倒序數21+一位數倒序數1之和）之積”，即：9×（21+1）=9×22=198

例證1 321-123=9×（21+1）=9×22=198

例證2 432-234=9×（21+1）=9×22=198

例證3 543-345=9×（21+1）=9×22=198

“654-456=198”至“987-789=198”之證明略。

3）四位數自然數的順序數與倒序數兩者之間的差，為“9×（三位數倒序數321+二位數倒序數21+一位是倒序數1之和）之積”，即：9×（321+21+1）=9×343=3087

例證1 4321-1234=9×（321+21+1）=9×343=3087

例證2 5432-2345=9×（321+21+1）=9×343=3087

例證3 6543-3456=9×（321+21+1）=9×343=3087

“7654-4567=3087”至“9876-6789=3087”之證明略。

4）五位數自然數的順序數與倒序數兩者之間的差，為“9×（四位數倒序數4321+三位數倒序數321+二位數倒序數21+一位數倒序數1之和）之積”，即：9×（4321+321+21+1）=9×4664=41976

例證1 54321-12345=9×（4321+321+21+1）

=9×4664=41976

例證2 65432-23456=9×（4321+321+21+1）

=9×4664=41976

例證3 76543-34567=9×（4321+321+21+1）

=9×4664=41976

“87654-45678=3087”至“9876-6789=3087”之證明略。

5）六位數自然數的順序數與倒序數兩者之間的差，為“9×（五位數倒序數54321+四位數倒序數4321+三位數倒序數321+二位數倒序數21+一位數倒序數1之和）之積”，即：9×（54321+4321+321+21+1）=9×58985=530865

例證1 654321-123456=9×（54321+4321+321+21+1）=9×58985=530865

例證2 765432-234567=9×（54321+4321+321+21+1）=9×58985=530865

例證3 876543-345678=9×（54321+4321+321+21+1）=9×58985=530865

例證4 987654-456789=9×（54321+4321+321+21+1）=9×58985=530865

6）七位數自然數的順序數與倒序數兩者之間的差，為“9×（六位數倒序數654321+五位數倒序數54321+四位數倒序數4321+三位數倒序數321+二位數倒序數21+一位數倒序數1之和）之積”，即：9×（654321+54321+4321+321+21+1）=9×713306=6419754

例證1 7654321-1234567=9×（654321+54321+4321+321+21+1）=9×713306=6419754

例證2 8765432-2345678=9×（654321+54321+4321+321+21+1）=9×713306=6419754

例證3 9876543-3456789=9×（654321+54321+4321+321+21+1）=9×713306=6419754

7）八位數自然數的順序數與倒序數兩者之間的差，為“9×（七位數倒序數7654321+六位數倒序數654321+五位數倒序數54321+四位數倒序數4321+三位數倒序數321+二位數倒序數21+一位數倒序數1之和）之積”，即：9×（7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=9×8367627=75308643

例證1 87654321-12345678=9×（7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=9×8367627 = 75308643

例證2 98765432-23456789=9×（7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=9×8367627 = 75308643

8）九位數自然數的順序數與倒序數兩者之間的差，為“9×（八位數倒序數87654321+七位數倒序數7654321+六位數倒序數654321+五位數倒序數54321+四位數倒序數4321+三位數倒序數321+二位數倒序數21+一位數倒序數1之和）之積”，即：9×（87654321+7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=9×96021948 =864197532

例證987654321-123456789=9×（87654321+7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=9×96021948=864197532

9）結論

綜上證明，得出結論：二至九位數自然數的順序數與倒序數兩者之間的差與自然數“9”有著密切聯系，其差為“9×（倒序數相加之和）之積”。

規律2 筆者還研究發現，自然數的二至五位數的奇數順序數與倒序數兩者之間的差，二至四位數的偶數順序數與倒序數兩者之間的差，均與自然數“9”有著密切聯系，其差為“9×2×（自然數倒序數相加之和）之積”。

（1）證二至五位數的奇數順序數與倒序數兩者之間的差。

例證1 求二位數的奇數順序數13與倒序數31兩者之間的差，為“9×2×（自然數一位倒序數1）之積”。其算式為：31-13=9×2×1=18×1=18

例證2 求三位數的奇數順序數135與倒序數531兩者之間的差，為“9×2×（自然數二位倒序數21+一位倒序數1）之積”。其算式為：531-135=9×2×（21+1）=18×22=396

例證3 求四位數的奇數順序數1357與倒序數7531兩者之間的差，為“9×2×（自然數三位倒序數321+二位倒序數21+一位倒序數1）之積”。其算式為：7531-1357=9×2×（321+21+1）=18×343=6174

例證4 求五位數的奇數順序數13579與倒序數97531兩者之間的差，為“9×2×（自然數四位倒序數4321+自然數三位倒序數321+二位倒序數21+一位倒序數1）之積”。其算式為：

97531-13579=9×2×（4321+321+21+1）=18×4664=83952

（2）證二至四位數的偶數順序數與倒序數兩者之間的差。

例證1 求二位數的偶數順序數24與倒序數42兩者之間的差，為“9×2×（自然數一位倒序數1）之積”。其算式為：42-24=9×2×1=18×1=18

例證2 求三位數的偶數順序數246與倒序數642兩者之間的差，為“9×2×（自然數二位倒序數21+一位倒序數1）之積”。其算式為：642-246=9×2×（21+1）=18×22=396

例證3 求四位數的偶數順序數2468與倒序數8642兩者之間的差，為“9×2×（自然數三位倒序數321+二位倒序數21+一位倒序數1）之積”。其算式為：8642-2468=9×2×（321+21+1）=18×343=6174

綜上證明，得出結論：自然數的二至五位數的奇數順序數與倒序數兩者之間的差，二至四位數的偶數順序數與倒序數兩者之間的差，均與自然數“9”有著密切聯系，其差為“9×2×（自然數倒序數相加之和）之積”。

規律3 從規律1可推知，自然數“倒序數后位數相加之和”為該倒序數與同位順序數兩者之差除以9之商。

（1）兩位自然數的倒序數21的后一位數1，為21與同位順序數12兩者之差除以9之商。其算式為：

1=（21-12）÷= 9÷9=22

（2）三位自然數的倒序數321的后二位數21與后一位數1相加之和，為321與同位順序數123兩者之差除以9之商。其算式為：（21+1）=（321-123）÷= 198÷9=22

（3）四位自然數的倒序數4321的后三位數321、后二位數21、后一位數1相加之和，為4321與同位順序數1234兩者之差除以9之商。其算式為：（321+21+1）=（4321-1234）÷= 3087÷9=343

（4）五位自然數的倒序數54321的后四位數4321與后三位數321、后二位數21、后一位數1相加之和，為54321與同位順序數12345兩者之差除以9之商。其算式為：（4321+321+21+1）=（54321-12345）÷= 41976÷9=4664

（5）六位自然數的倒序數654321的后五位數54321與后四位數4321、后三位數321、后二位數21、后一位數1相加之和，為654321與同位順序數123456兩者之差除以9之商。其算式為：（54321+4321+321+21+1）=（654321-123456）÷= 530865÷9=58985

（6）七位自然數的倒序數7654321的后六位數654321與后五位數54321、后四位數4321、后三位數321、后二位數21、后一位數1相加之和，為7654321與同位順序數1234567兩者之差除以9之商。其算式為：（654321+54321+4321+321+21+1）=（7654321-1234567）÷= 6419754÷9=713306

（7）八位自然數的倒序數87654321的后七位數7654321與后六位數654321、后五位數54321、后四位數4321、后三位數321、后二位數21、后一位數1相加之和，為87654321與同位順序數12345678兩者之差除以9之商。其算式為：（7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=（87654321-12345678）÷= 75308643÷9=8367627

（8）九位自然數的倒序數987654321的后八位數87654321與后七位數7654321、后六位數654321、后五位數54321、后四位數4321、后三位數321、后二位數21、后一位數1相加之和，為987654321與同位順序數123456789兩者之差除以9之商。其算式為：

（87654321+7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=（987654321-123456789）÷=864197532÷9=96021948

（9）結論

綜上證明，得出結論：自然數“倒序數的后位數相加之和”為該倒序數與同位順序數兩者之差除以9之商。