例談平面直角坐標系下圖形變換和點坐標的確定

徐臻

摘 要：在整個初中數學學習過程中，平面直角坐標系是一個有力的工具。它貫穿著數與形，也凸顯了一種數形結合的思想。平面直角坐標系的作用無處不在，從數軸開始，其實已經開始逐步接觸平面直角坐標系了，后來線段的距離、點的對稱、線段的對稱都可以在平面直角坐標系中完成。包括數量關系中的一次函數、反比例函數和二次函數都是在平面直角坐標系的背景下，研究橫縱坐標之間的關系。平面直角坐標系這個工具還能幫助學生研究圖像的性質和圖像的變化，確定點的坐標。

關鍵詞：平面直角坐標系；圖形變換；點坐標

從近幾年考題來看，在平面直角坐標系的背景下，經常有幾何圖形的變換，例如翻折、旋轉、平移。點坐標的確定就成為一個重要的考點，在解題過程中，首先要充分認識圖形變換前后之間的關系，特別是線段之間的數量和位置關系，在旋轉變換背景下還要充分考慮特殊的旋轉角對于旋轉之后圖形的位置影響。其次還需要準確地把握坐標的確定方法。有時候，需要過所求點向坐標軸作輔助線（垂線），去構造直角三角形，然后利用邊角的條件求出垂線段的長度。再由垂線段過渡到點的坐標過程中，有時還要考慮點的位置。值得注意的是要正確判斷坐標的符號。舉個例子，坐標系中的變換問題往往隱含著一些特殊角的條件，比如點A（1，-■），這樣的描述中就隱含著60°的角，因此，在分析圖形特征時，要格外留意是否題目中存在類似的關鍵的且不容易被發現的一些潛在條件。由此可見，處理這類問題時要把握變換的性質以及確定坐標的方法，特別是確定點坐標，構造垂線段，形成直角三角形，進而求解，這是一種典型的確定點坐標的好方法，可供學習者熟練掌握。下面我將分別列舉兩個平面直角坐標系下圖形在翻折和旋轉過程中求點坐標的例題。

通過這兩題的比較，我們不難發現，在平面直角坐標系下根據圖形的變換求點的坐標，構造特殊三角形，在三角形里通過計算線段的長度，從而計算點坐標是大體思路。但面對不同的圖形變換，我們也有需要注意的地方，對于旋轉變換的問題，我們要注意旋轉角問題。對于三角形和四邊形的旋轉，在進行角度計算的時候，我們需要關注原來角度的條件。因為在旋轉過程中，非常容易出現等腰三角形、等邊三角形或者直角三角形。因而在圖形變換下求點坐標，我們需要考慮特殊圖形對于角度的制約作用，比如，如果一條線段繞一個端點旋轉60°就可以形成等邊三角形，如果旋轉90°就會變成等腰直角三角形。當然我們也需要非常熟悉45°和60°兩塊特殊三角板邊與角之間的關系。面對圖形變換中折疊求點坐標問題，我們需要考慮軸對稱，把對應關系搞清楚，然后分析圖形中出現的特殊三角形，在接下來的計算中，我們經常會借助方程思想，通過勾股定理得出結論。

參考文獻：

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