基于熱力學熵的數學模型構建過程

梁韻瑾

摘 要：熵最初起源于熱學現象，是描述熱力學系統分子無序度的狀態量。隨著對熱力學熵研究的不斷深入，熵已經逐漸脫離了熱力學學科范疇，具有了更深層的信息論、系統論等拓展領域和哲學韻味。本文試圖從熵的起源、熵的微觀含義、信息論、基于標準化熵的熵權理論等方面逐步分析、構建基于熱力學熵的數學模型，以此加深基于熵理論背后數學含義的理解，加強對熱力學熵的物理概念和拓展應用方面的認識。

關鍵詞：熵；統計熵；信息熵；熵權理論；數學模型

中圖分類號：U491.1 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）21-0218-02

1 引言

熵于1865年由物理學家克勞修斯首次提出，最初應用在傳統熱力學中，可用于表達熱力學系統的宏觀狀態。熵作為一個抽象概念，經過一百多年眾多學者的研究思考，熵的相關問題在理論上得到了很大突破，同時基于熵概念構建的一系列數學模型在應用上也滲透到信息學、社會科學、生物學、哲學、經濟學和工程科學等眾多學科領域，但在其應用泛化的同時，不可避免地也帶來概念和理論上的層次混亂[1]，因此梳理熵的發展歷程，研究基于熱力學熵的數學模型構建過程對科學的發展及應用的規范具有重大現實意義。

2 熵的起源

熵是表征熱力學系統分子無序度的物理量，具有宏觀定義與微觀定義[2]，早在1824年卡諾提出了卡諾機循環定理，并說明卡諾熱機在理想狀態下時其高溫吸熱量等于處于低溫狀態下的放熱量，即，這里Q表示熱機具有的能量，Tx表示熱機具有的溫度，其熱溫比前后不變。卡諾機循環揭示了能量轉換的規律，也為熱力學第二定律的提出打下了良好基礎。1865年，克勞修斯提出了熱力學第二定律，表示理想系統在可逆狀態下時，在不可逆狀態下時，并定義了熵這一物理量，表征為系統熱量與溫度的比值，即，由于能量不易測量，故用來表示熵。

在可逆狀態下時：

在不可逆狀態下時：

由于在孤立系統中系統不與外界進行能量交換，所以△Q=0，即△S≥0，這就是著名的熱力學第二定律，又名熵增原理，這里的熵叫做熱力學熵，表示系統中熱量轉化為功的程度和能量在空間中分布的均勻程度。這是熵的首次提出，此時熵只具有熱力學的宏觀意義，表征熱力學系統分子混亂度的一個狀態量，其大小只與初末態有關，與所經歷的過程無關。

3 熵的微觀含義

熱力學第二定律系統下的熵不僅具有宏觀定義，而且還具有微觀表述。早在1872年玻爾茲曼便提出了在分子運動中熵的微觀含義，他定義的統計熵是在微觀態上由大量統計得出的結果[3]，S=klnΩ，其中Ω表示宏觀態中所對應的微觀狀態的數目，k為玻爾茲曼常數，取值約為1.38×10-23J/K。根據玻爾茲曼提出的等概率原理，當宏觀態中微觀狀態被取到的概率相等時，P=，P表示概率，即：

玻爾茲曼將熱力學熵與概率統計相互聯系起來得到熵的微觀表述，其中S=klnΩ表示熱力學系統的紊亂程度。當系統處于非平衡狀態時，系統處于有序狀態，能量密度分布不均勻，混亂度較小，熵較小；系統處于平衡狀態時，系統處于無序狀態，能量密度分布均勻，混亂度較大，熵較大。由此看出，熵越大表示系統越趨向于平衡態，反之相反。此時熵便從宏觀熱力學角度推廣到了以量子理論為基礎的統計熱力學微觀層次。

4 信息熵

1948年信息論的創始人香農基于對熵在熱力學中的研究，受到玻爾茲曼從微觀角度描述熱力學熵的啟發，首先系統性地提出了信息的度量方法，他利用概率論與數理統計的方法，把熵作為一個隨機事件的不確定性或信息量的度量，把獲得的信息用來表示消除信息不確定性的可能，將熵從熱力學和統計力學角度推廣到了信息計量的信息熵角度，從而奠定了現代信息論的科學理論依據[4]。香農得出的信息熵具有一定的哲學韻味，將信息計量與分子統計進行了類比。假設信息源中有無數信號，其中某種信號的概率為Pi，此時信息量為-lnPi。當信號有n種且其概率P均相等時，該信息源中的平均信息量為：

這個新推出的與平均信息量相關聯的公式與玻爾茲曼推出的熵的公式有驚人的一致性，于是香農大膽地假設出信息熵這一概念，用于表達一個系統，即一個信息源中所含有的平均信息量。

當隨機變量為離散型數據時：

其中c為常數，取值與信息度量單位選擇有關。

當隨機變量為連續型數據時：

其中f（x）為連續型隨機變量x的概率密度分布函數。當系統中信息量，得到信息量的途徑、手段越多時，信息熵越小；當系統中信息量，得到信息量的途徑、手段越少時，信息熵越大。信息熵可用于評判一個信息體系的正負值，可作為一種工具去幫助信息流由無序趨向有序，熵值減小的方向轉移。信息熵的提出又把熵擴展至了信息學的領域。

5 基于標準化熵的熵權理論

截至信息熵概念的建立，熵已具有了一定哲學意義，即用熵來描述系統的宏觀狀態。此時學者們希望建立一個有普適意義的熵，即具有標準性，可用于各種系統中，這就是標準化熵[5-6]。標準化熵是系統約束性的度量，可用于度量系統的標準化狀態。系統約束較低時，熵較高；而系統約束較高時，熵較低。熵權法也隨之而建立，表示各指標的變異程度，依照信息論，信息熵：

，其中

對于有n個待評項目，m個評價指標的系統而言，某指標rj的頻率或概率用該指標在n個待評項目下的歸一化系數表示，即：

其中rij為待評指標觀測值。進而求得指標的效用值為：

則指標的權重值為：

運用各指標的熵權進行加權計算，可以得出更為準確、客觀的結果。當指標變異程度越小，系統越有序，權重越小，對應的熵權越小。當指標變異程度越大，系統越無序，權重越大，對應的熵權越大[7]。

6 結語

熵不僅在理論上具有極大成果，在應用上的延伸也十分廣泛，目前熵已經擴展到信息學、社會科學、生物學、哲學、經濟學和工程科學等學科領域。比如應用熵理論可以表示社會的負面程度，表征社會的混亂程度。薛定諤引入的負熵概念可以在生物界表現人體及其他生物都朝向混亂度增加的方向移動。在工程應用中，熵也可以用來分析項目可靠性，指導工程的有效進行等。熵在短短一百多年內由傳統熱力學逐漸擴展到了如今廣泛應用的各種領域，從宏觀和微觀各角度都賦予了熵豐富的內涵，實現了從理論走進實際，并上升到哲學意義的過程。作為一個前景良好，基礎扎實的概念，熵在今后也必有更大的突破。

參考文獻

[1]董春雨，姜璐.試論熵概念的層次性[J].自然辯證法研究，1995，（8）：23-26.

[2]李秀燕，肖榮輝，陳賜海.熵的概念及其拓展[J].漳州師范學院學報（自然科學版），2009，（3）：63-67.

[3]李林，單長吉.熵的概念理解及應用[J].黑龍江科技信息，2014，（14）：29.

[4]張紹伶.基于熵權法的水利工程工期方案評價研究[D].大連：大連理工大學，2014.

[5]麥綠波.標準化學科熵的概念及其數學模型的創建（上）[J].中國標準化，2012，（11）：79-82.

[6]麥綠波.標準化學科熵的概念及其數學模型的創建（下）[J].中國標準化，2012，（12）：79-82.

[7]劉瓊，史諾.熵權法在教學評價中的量化分析與實證研究[J].長沙航空職業技術學院學報，2015，（3）：21-24.