微分中值定理的證明及應用

劉一萱

摘 要：微分中值定理是高等數學中微分學的核心內容，它是研究函數性質的重要工具。本文首先介紹了微分中值定理的歷史發展過程，然后給出了費馬引理、羅爾定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理的具體內容和證明方法，并描述了它們的幾何意義和三者之間的關系，最后舉例說明了微分中值定理在具體的解題過程中的應用。

關鍵詞：費馬引理；羅爾定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理

中圖分類號：O172.1 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）21-0216-02

微分中值定理是一系列中值定理的總稱，通常包括羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理。它們將函數與其導數聯系起來，從而可以利用導數的局部性來研究函數的整體性質，是研究函數的有力工具。因此，微分中值定理在微分學中占有很重要的地位。

1 微分中值定理歷史發展

人們對微分中值定理的認識始于古希臘時代。當時的數學家們發現，過拋物線頂點的切線必平行于拋物線底端的連線，阿基米德還利用該結論求出了拋物線弓形的面積。這其實就是拉格朗日中值定理的特殊情形。1635年，意大利數學家卡瓦列里在《不可分量幾何學》中描述：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦，即卡瓦列里定理。它反映了微分中值定理的幾何形式。

1637年法國數學家費馬在《求最大值和最小值的方法》中給出了費馬定理，即函數在極值點處的導數為零。1691年法國數學家羅爾在《方程的解法》中給出了多項式形式的羅爾定理，后來發展成一般函數的羅爾定理，并且正是由費馬定理推導而出。后來，法國數學家拉格朗日于1797年在《解析函數論》中首先給出了拉格朗日中值定理，并予以證明。它也是微分中值定理中最為主要的定理。同樣是來自法國的著名數學家柯西，這位近代微分學的奠基者，對微分中值定理進行了更加深入的研究。他的三部巨著《分析教程》、《無窮小計算教程概論》和《微分計算教程》，在分析上進行了嚴格的敘述和論證，使得微積分擺脫了對幾何、運動的直觀理解和物理解釋，對微積分理論進行了重構，從而極大地推動了數學分析嚴格化的進程[1-2]。他在《無窮小計算教程概論》中嚴格地證明了拉格朗日中值定理，后來又在《微分計算教程》中將拉格朗日中值定理推廣為廣義中值定理—柯西中值定理。柯西認為中值定理是微分學中最核心的定理，比如可以利用該定理嚴格證明洛必達法則，并研究泰勒公式的余項等。從柯西起，微分中值定理成為了研究函數非常重要的工具，也是微分學的重要組成部分。

2 微分中值定理及其證明

2.1 費馬引理

設x0是f（x）的一個極值點，且f（x）在x0處導數存在，則f'（x0）=0。費馬引理可以由極值的定義證得。需要注意的是，導數為0的點并不一定是極值點，例如f（x）=x3在x=0處導數為0，但顯然該點并不是f（x）的極值點。

2.2 羅爾定理

如果函數f（x）滿足：在閉區間[a，b]上連續；在開區間（a，b）內可導；在區間端點處的函數值相等，即f（a）=f（b）。那么在（a，b）內至少存在一點ξ∈（a，b），使得f'（ξ）=0。

證明：由f（x）在閉區間[a，b]上連續可知，存在ξ，η∈[a，b]，滿足f（ξ）=M，f（η）=m，其中M和m分別是f（x）在[a，b]上的最大值和最小值。不妨設M>m（M=m時結論顯然成立），這時M和m中至少有一個與f（a）不相同，不妨設M=f（ξ）>f（a）=f（b），此時ξ顯然是極大值點，由費馬引理可得f' （ξ）=0。

羅爾定理的幾何意義是滿足定理條件的函數f（x），一定在（a，b）內某一點存在一條平行于曲線段端點連線的切線。通常可以利用羅爾定理來討論函數及其導函數在某區間上的零點問題，并且還可以用來證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

2.3 拉格朗日中值定理

如果函數f（x）滿足：在閉區間[a，b]上連續；在開區間（a，b）內可導。那么在（a，b）內至少存在一點ξ∈（a，b），使得f' 。

證明：設=k，則f（b）-f（a）=k（b-a），即f（a）-ka=

f（b）-kb。構造函數F（x）=f（x）-kx，則F（x）同樣滿足定理中的條件且F（a）=F（b），根據羅爾定理，在（a，b）內至少存在一點ξ∈（a，b）使得F'（ξ）=f'（ξ）-k=0，即f'（ξ）=k，故 。

拉格朗日中值定理的幾何意義是滿足定理條件的函數f（x），至少在（a，b）內存在一點，使得該點處的切線斜率與曲線段端點連線的斜率相同。拉格朗日中值定理溝通了函數與其導數的聯系，因此很多時候可以從導數的角度來研究函數在其定義域上的性質。在研究函數的單調性、凹凸性以及不等式的證明等方面，都可能會用到拉格朗日中值定理。

2.4 柯西中值定理

如果函數f（x）和g（x）滿足：在閉區間[a，b]上連續；在開區間（a，b）內可導；對∈（a，b），g'（x）≠0。那么在（a，b）內至少存在一點ξ∈（a，b），使得。

證明：同拉格朗日中值定理的證明類似，設=λ，構造輔助函數F（x）=f（x）-λ（g（x）-g（a）），則F（x）同樣滿足定理中的條件且F（a）=F（b），根據羅爾定理，在（a，b）內至少有一點ξ∈（a，b）使得F'（ξ）=f'（ξ）-λg'（ξ）=0，代入λ可得g'（ξ）=0，整理可得。

柯西中值定理的幾何意義是由函數f（x）和g（x）所確定的參數曲線上，至少在（a，b）內存在一點，使得該點的切線平行于參數曲線兩端點的連線。柯西中值定理的證明方法有很多種。與拉格朗日中值定理一樣，柯西中值定理也可以用來求函數極限、證明函數單調性以及證明等式與不等式等。

我們可以看到，在拉格朗日中值定理中，如果令f（a）=f（b），就可以得到羅爾定理。同樣的，在柯西中值定理中，如果令g（x）=x，則變成拉格朗日中值定理。因此，拉格朗日中值定理可以看作是羅爾定理的推廣，而柯西中值定理則可以看作是拉格朗日中值定理的推廣[3]。也可以說，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理則是柯西中值定理的特例。從證明過程可以發現，拉格朗日中值定理和柯西中值定理都以羅爾定理為基礎，再通過構造輔助函數證得[4]。

3 微分中值定理的應用

微分中值定理不僅具有明顯的幾何意義和運動學意義，它作為微分學最基本的定理之一，還是研究函數的有力工具。本節給出它在以下幾個方面的具體應用。

3.1 求函數極限

例1：求。

解：令f（x）=（1+x）a-1，則f（0）=0，f'（x）=a（1+x）a-1。由拉格朗日中值定理可得f'（ξ）=（0<ξ

3.2 證明函數單調性

例2：設f（0）=0，f'（x）在（0，+∞）上單調遞增，證明：在（0，+∞）上也單調遞增。

證明：對求導可得[]'=。根據拉格朗日中值定理可得==f'（ξ）（0<ξ0，故在（0，+∞）上也單調遞增。

3.3 證明不等式

例3：證明不等式ex>1+x（x>0）。

證明：即證ex-1>x。令f（x）=ex-1，g（x）=x，則f（0）=g（0）=0。由柯西中值定理可得=eξ>1，其中ξ∈（0，x），即f（x）>g（x），ex-1>x，從而原式得證。

3.4 證明等式

例4：設f（x）在區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內有二階導數，試證：存在c∈（a，b），使f（b）-2f（）+f（a）=f''（c）。

證明：由已知可得 = 。

構造輔助函數，則上式等于。由題意可知和？均滿足拉格朗日中值定理的條件，兩次利用拉格朗日中值定理可得 === =。

4 結語

人們對微分中值定理的研究主要從費馬定理開始，大約經歷了兩百多年的時間。定理的條件要求也從特殊到一般，從直觀到抽象，從強條件轉為弱條件。人們逐漸認識到了微分中值定理的普遍性，數學也正是在這樣一個推陳出新、吐故納新的過程中不斷向前發展[5]。

本文總結了微分中值定理的具體內容及其證明，并通過例子討論了微分中值定理在求函數極限、證明函數單調性以及證明不等式和等式方面的應用，從中可以看出微分中值定理的重要性。另外，在證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的過程中，采用了構造輔助函數的方法，這也是數學中常見而又非常重要的一種方法。通過對微分中值定理的研究，還可以提高發散思維能力和創新能力，有助于加深對數學的認識和理解。

參考文獻

[1]陳寧.微分中值定理的歷史演變[J].大學數學，2003，（2）：96-99.

[2]陳紀修，於崇華，金路.數學分析-第2版[M].高等教育出版社，2004.

[3]黨艷霞.淺談微分中值定理及其應用[J].廊坊師范學院學報（自然科學版），2010，（1）：28-31.

[4]王銳利.關于微分中值定理的進一步研究[J].漯河職業技術學院學報，2012，（2）：97-99.

[5]盧玉峰.微分中值定理歷史與發展[J].高等數學研究，2008，（5）：59-63.