幾類三角函數(shù)有理式不定積分的求法

譚香

【摘要】 三角函數(shù)有理式不定積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，本文主要將幾種常見(jiàn)的三角函數(shù)有理式的不定積分進(jìn)行了分類，針對(duì)每種類型總結(jié)出了具體的計(jì)算方法.

【關(guān)鍵詞】 三角函數(shù);不定積分;湊微分法;分部積分法

由u（x），v（x）及常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算所得到的函數(shù)稱為關(guān)于u（x），v（x）的有理式，并用R（u（x），v（x））表示.∫R（cosx，sinx）dx是三角函數(shù)有理式的不定積分，解決這類問(wèn)題，比較常用的方法是通過(guò)萬(wàn)能公式代換，將其轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分，但有時(shí)計(jì)算非常煩瑣.本文主要將幾種常見(jiàn)的三角函數(shù)有理式的不定積分進(jìn)行了分類，針對(duì)每種類型總結(jié)出了具體的計(jì)算方法.

一、不定積分∫fn（x）dx的計(jì)算方法（其中f（x）為三角函數(shù)，n∈ Z ，n≥2）

（一）f（x）=sinx或f（x）=cosx

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于不定積分∫sinnxdx和∫cosnxdx，若n為奇數(shù)時(shí)，則可將奇數(shù)次冪因子拿出一個(gè)與dx湊微分，然后積分.若n為偶數(shù)時(shí)，則可先利用倍角公式降冪，然后再進(jìn)行計(jì)算，或者利用分部積分法降低f（x）的次數(shù)，求得遞推公式，然后利用遞推公式，求出∫fn（x）dx.

例1 ??求∫sin4xdx.

解 ?法一：∫sin4xdx=∫? 1-cos2x 2? 2dx

=∫ 1+cos22x-2cos2x 4 dx= x-sin2x 4 +∫ 1+cos4x 8 dx

= 3x 8 - sin2x 4 + sin4x 32 +c;

法二：∫sin4xdx=-∫sin3xdcosx

=-sin3xcosx+3∫sin2xcos2xdx

=-sin3xcosx+3∫sin2x（1-sin2x）dx

=-sin3xcosx+3∫sin2xdx-3∫sin4xdx

=-sin3xcosx+3? x 2 - sin2x 4? -3∫sin4xdx.

從而可得∫sin4xdx= -sin3xcosx 4 + 3 8 x- 3 16 sin2x+c.

例2 ??求∫cos3xdx.

解 ?∫cos3xdx=∫cos2xd（sinx）=∫（1-sin2x）d（sinx）

=sinx- sin3x 3 +c.

（二）f（x）=tanx或f（x）=cotx

對(duì)于不定積分∫tannxdx（或∫cotnxdx），可將二次冪因子tan2x（或cot2x）替換為sec2x-1（或csc2x-1），然后拆項(xiàng)，一部分湊微分，另一部分降低f（x）的次數(shù)進(jìn)行計(jì)算.

例3 ??求∫tan4xdx.

解 ?∫tan4xdx=∫tan2x（sec2x-1）dx

=∫tan2xsec2xdx-∫tan2xdx

=∫tan2xd（tanx）-∫（sec2x-1）dx

= tan3x 3 -tanx+x+c.

例4 ??求∫cot5xdx.

解 ?∫cot5xdx=∫cot3x（csc2x-1）dx

=∫cot3xcsc2xdx-∫cot3xdx

=-∫cot3xd（cotx）-∫cotx（csc2x-1）dx

=- cot4x 4 +∫cotxd（cotx）+∫cotxdx

=- cot4x 4 + cot2x 2 +ln| sinx|+c.

（三）f（x）=secx或f（x）=cscx

對(duì)于不定積分∫secnxdx（或∫cscnxdx），若n為偶數(shù)時(shí)，可將二次冪因子sec2x（或csc2x）拿出一個(gè)與dx湊微分，然后積分.若n為奇數(shù)時(shí)，則可利用分部積分法降低f（x）的次數(shù)，求得遞推公式，然后利用遞推公式，求出∫fn（x）dx.

例5 ??求∫csc4xdx.

解 ?∫csc4xdx=-∫csc2xdcotx=-∫（1+cot2x）dcotx

=-cotx- cot3x 3 +c.

例6 ??求∫sec3xdx.

解 ?首先∫secxdx=ln|secx+tanx|+c;

∫sec3xdx=∫secxdtanx=secxtanx-∫secxtan2xdx

=secxtanx-∫secx（sec2x-1）dx

=secxtanx-∫sec3xdx+∫secxdx

=secxtanx-∫sec3xdx+ln|secx+tanx|.

從而可得∫sec3xdx= secxtanx+ln|secx+tanx| 2 +c.

二、不定積分∫sinmxcosnxdx的計(jì)算方法（m，n∈ Z +）

一般說(shuō)來(lái)，對(duì)于不定積分∫sinmxcosnxdx，若m和……