Multiplex網(wǎng)絡(luò)下基于鷹鴿博弈的公平演化研究

李曉龍

摘要：本文通過(guò)研究在Multiplex網(wǎng)絡(luò)下基于鷹鴿博弈的交互演化來(lái)研究網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)人類社會(huì)公平演化的影響。研究發(fā)現(xiàn)，Multiplex網(wǎng)絡(luò)的最大超拉普拉斯特征值決定了系統(tǒng)達(dá)到公平狀態(tài)時(shí)自私度的臨界上限和下限。同時(shí)，在計(jì)算機(jī)生成的Multiplex網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行了大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，證明了理論分析的正確性。

關(guān)鍵詞：Multiplex網(wǎng)絡(luò);鷹鴿博弈;超拉普拉斯矩陣;公平演化

中圖分類號(hào)：TV663? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ?文章編號(hào)：1007-9416（2018）10-0000-00

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)遍布于人類社會(huì)和自然界中，扮演著重要的角色。隨著網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的發(fā)展，研究者們逐漸認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)世界中不同的系統(tǒng)之間存在著一定的耦合關(guān)系，從而使得多層網(wǎng)絡(luò)逐漸引起研究者們的廣泛關(guān)注[1]。演化博弈理論是將經(jīng)典博弈理論與自然選擇理論結(jié)合的產(chǎn)物，為研究揭示人類社會(huì)與自然界中利他行為的產(chǎn)生提供了新視角。由于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和博弈方式的改變會(huì)對(duì)處于其中的節(jié)點(diǎn)的行為產(chǎn)生重大影響，因此將不同博弈方式拓展到多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的演化博弈研究上，可以更好地揭示現(xiàn)實(shí)世界中合作和公平的涌現(xiàn)機(jī)制[1]。

1 系統(tǒng)模型

本文考慮由M層網(wǎng)絡(luò)，每層由N個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的multiplex網(wǎng)絡(luò)，第層的第個(gè)節(jié)點(diǎn)表示選手，每個(gè)選手都與層內(nèi)鄰居和層間鄰居進(jìn)行對(duì)稱兩人鷹鴿博弈。不損失一般性，我們假定網(wǎng)絡(luò)的層內(nèi)權(quán)重和層間權(quán)重都為。每個(gè)選手采取的混合策略為，表示選手采取策略D的概率，表示采取H策略的概率，他們的博弈收益矩陣如下：

（1）

為了簡(jiǎn)化，假定所有選手的自私度相同，表示為，故可得所有選手在每輪的歸一化收益如下：

，為的列向量，表示所有選手采取D策略的概率向量，E表示的單位向量，表示以中元素為主對(duì)角元素的對(duì)角矩陣，表示multiplex網(wǎng)絡(luò)的歸一化超拉普拉斯矩陣，為其超拉普拉斯矩陣中每個(gè)元素除以此元素所在行的對(duì)角線元素， 被表示如下：

（2）

表示第層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣，表示層間網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣。本文借鑒網(wǎng)絡(luò)同步的思想[2]，采用平均一致性協(xié)議作為選手的策略更新規(guī)則，表示如下：

（3）

此處，表示選手的期望策略，同時(shí)也保證了選手的策略始終為概率向量。我們通過(guò)李雅普諾夫第一方法來(lái)判斷式的穩(wěn)定性，可得在平衡點(diǎn)且處的雅克比矩陣為：

（4）

此處，，

和。只要保證式的所有特征值均小于0，即可得系統(tǒng)可收斂到公平狀態(tài)。由于的所有特征值均位于區(qū)間[0，2），故可得臨界條件為：

（5）

則臨界自私度下界為，下界為。

2 數(shù)值仿真

我們通過(guò)計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的3層multiplex網(wǎng)絡(luò)，每層網(wǎng)絡(luò)為50個(gè)選手，且層內(nèi)網(wǎng)絡(luò)模型為BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，仿真結(jié)果如圖1（結(jié)論同樣適用于WS小世界網(wǎng)絡(luò)）。初始策略服從均值為（0，1）的隨機(jī)分布。從圖1中可以看出自私度的實(shí)際臨界值始終位于理論預(yù)測(cè)值的上限和下限之間，從而證明了理論結(jié)果正確性。

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在本文中我們將Multiplex網(wǎng)絡(luò)中對(duì)稱最后通牒博弈的公平演化研究擴(kuò)展到Multiplex網(wǎng)絡(luò)上的對(duì)稱Hawk-Dove博弈公平演化，系統(tǒng)變?yōu)榉蔷€性系統(tǒng)。理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明，Multiplex網(wǎng)絡(luò)的最大超拉普拉斯特征值決定了系統(tǒng)可以達(dá)到公平的臨界自私度的上下限。

參考文獻(xiàn)

[1] 曹崀.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的演化博弈動(dòng)力學(xué)研究[D].上海交通大學(xué)，2008.

[2]Zhang W， Yao J， Wang H O. The evolutionary ultimatum game on multiplex networks[C]// American Control Conference. IEEE， 2016：3752-3757.

Fair Evolution Research Based On The Hawk-Dove Game Under Multiplex Networks

LI Xiao-long

（Tongji University，Shanghai? 201804）

Abstract：This？paper？studies？fairness？evolution？in？symmetric？Hawk-Dove？game？on？multiplex？networks？to？explore？the？impact？of？network？structure？on？the？fair？evolution？of？human？society.？It？is？found？that？the？largest？supra？laplacian？eigenvalue？of？the？multiplex？network？almost？determines？the？upper？and？lower？limits？of？the？critical？selfishness？of？reaching？fairness？for？system.？Considerable？numerical？experiments？on？computer？generated？multiplex？networks？prove？the？correctness？of？theoretical？analysis.

Keywords：multiplex？network;Hawk-Dove？game，？super？laplacian？matrix;fair？evolution