電能質(zhì)量信號(hào)的KSVD NRAMP 歸一化自適應(yīng)稀疏重構(gòu)算法

肖兒良 馮杰 簡獻(xiàn)忠 王如志

摘要：針對(duì)稀疏重構(gòu)算法在電能質(zhì)量重構(gòu)中存在實(shí)時(shí)性差、重構(gòu)精度低的問題，提出一種基于特征向量歸一化的K奇異值分解（KSVD?NRAMP）自適應(yīng)稀疏重構(gòu)算法。算法針對(duì)電能質(zhì)量信號(hào)的非線性非穩(wěn)態(tài)特征，采用迭代式匹配追蹤得到信號(hào)稀疏特征矩陣，然后對(duì)矩陣進(jìn)行歸一化處理，量化特征向量，加快函數(shù)收斂速度。接著對(duì)得到的矩陣原子進(jìn)行奇異值分解，改善迭代步長波動(dòng)造成信號(hào)重構(gòu)精度低的問題，最后構(gòu)建信號(hào)的高斯隨機(jī)矩陣并重構(gòu)信號(hào)。當(dāng)信號(hào)壓縮率在50%～90%時(shí)，該算法重構(gòu)信噪比其它重構(gòu)算法的重構(gòu)信噪比高出26dB～28dB。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法重構(gòu)精度更高且計(jì)算時(shí)間短，為電能質(zhì)量信號(hào)的研究提供了一種新思路。

關(guān)鍵詞：歸一化;奇異值分解;壓縮感知;電能質(zhì)量信號(hào)重構(gòu)

KSVD?NRAMP normalized adaptive sparse reconstruction

algorithm of power quality signals

XIAO Er?liang1，2， FENG Jie1，2， JIAN Xian?zhong1，2，WANG Ru?zhi

（1.School of Optical?Electrical & Computer Engineering， University of Shanghai for Science & Technology;

2.Shanghai Key Laboratory of Modern Optical System， Shanghai 200093， China;

3.College of Materials Science and Engineering， Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

Abstract：Due to the poor real?time performance and low reconstruction accuracy of sparse reconstruction algorithm in power quality reconstruction， the author proposed an adaptive sparse reconstruction algorithm based on the normalized K singular value decomposition of eigenvector （KSVD?NRAMP）. Firstly aiming at the nonlinear and unstable features of power quality signals， algorithm can obtain the sparse feature matrix of signals by adopting the iterative matching pursuit. Then the algorithm adopted the normalization processing of sparse feature matrix， quantizing eigenvector， accelerating the convergence speed of the function. Afterwards， aiming at the obtained matrix atoms， the algorithm can realize the decomposition of the singular value and improve the problem of low signal reconstruction accuracy caused by the fluctuation of iterative step. At last， the algorithm can construct the Gaussian random signals matrix and reconstruct the sparse signals. When the signal compression ratio is between 50% and 90%， the reconstruction SNR of the proposed reconstruction algorithm is 26dB ～ 28dB higher than that of other reconstruction algorithms. Experimental results show that the proposed algorithm has higher reconstruction accuracy and shorter computation time， and provides a new idea for the study of power quality signals.

Key Words：normalization; singular value decomposition; compressed sensing; power quality signals reconstruct

0?引言

電能質(zhì)量信號(hào)監(jiān)測(cè)[1?4]是配電網(wǎng)避免設(shè)備損壞、確定干擾原因的主要方法[5]，電能質(zhì)量的好壞不僅關(guān)系到電網(wǎng)企業(yè)的產(chǎn)品質(zhì)量，也影響到用戶的安全運(yùn)行。因此，對(duì)電能質(zhì)量信號(hào)的檢測(cè)分析具有非常重要的意義。

現(xiàn)有的處理方法主要包括基于短時(shí)傅里葉變換方法（STFT）[6]、小波變換（WT）[7]、希爾伯特–黃變換（HHT）[8]、S變換（ST）[9]等。但以上信號(hào)處理方法均建立在傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理基礎(chǔ)上，要求采樣頻率較高，導(dǎo)致電能質(zhì)量信號(hào)分析復(fù)雜、功耗較大。為解決上述問題，學(xué)者們進(jìn)行了很多研究[10?12]，如文獻(xiàn)[12]將壓縮感知理論應(yīng)用于電能質(zhì)量信號(hào)識(shí)別中，驗(yàn)證了該方法的可行性;文獻(xiàn)[13?14]采用固定正交基稀疏分解方法，具有構(gòu)造簡單、實(shí)現(xiàn)快速、復(fù)雜度較低的特點(diǎn)。由于采用固定正交基進(jìn)行信號(hào)分解，從而導(dǎo)致稀疏系數(shù)表達(dá)能力和范圍有限，為解決該問題，文獻(xiàn)[15]采用一組在過完備的離散余弦基上分解信號(hào)的方法，重構(gòu)效果優(yōu)于固定正交基。但由于稀疏字典生成時(shí)未充分考慮電能質(zhì)量信號(hào)時(shí)頻特性，且采用的基原子結(jié)構(gòu)固定，不能實(shí)現(xiàn)信號(hào)的最優(yōu)表示，由此導(dǎo)致稀疏字典不具有自適應(yīng)性，不利于工程實(shí)際應(yīng)用。因此，文獻(xiàn)[16]提出KSVD?ROMP算法，利用字典學(xué)習(xí)方式自適應(yīng)地構(gòu)造信號(hào)的變換基。但是該算法的稀疏特征矩陣原子差異巨大，迭代結(jié)束條件受步長波動(dòng)影響較大，導(dǎo)致該算法應(yīng)用于信號(hào)重構(gòu)時(shí)存在實(shí)時(shí)性差和重構(gòu)精度低的缺點(diǎn)。

針對(duì)該問題，本文提出一種KSVD?NRAMP算法，即基于特征向量歸一化的K奇異值分解自適應(yīng)稀疏重構(gòu)算法。首先根據(jù)電能質(zhì)量信號(hào)非線性非穩(wěn)態(tài)特征，采用迭代式匹配追蹤得到信號(hào)的稀疏特征矩陣，然后對(duì)矩陣原子進(jìn)行歸一化處理，將特征量縮放，縮小特征矩陣原子差異，使其梯度下降過程更加筆直，加快函數(shù)收斂速度從而加快計(jì)算速度。接著利用訓(xùn)練學(xué)習(xí)的方式對(duì)得到的系數(shù)矩陣進(jìn)行奇異值分解，然后從字典中選出一組和原始信號(hào)或殘余最匹配的原子更新字典，以獲得信號(hào)的最優(yōu)展開函數(shù)，改善算法迭代結(jié)束條件受步長波動(dòng)的影響。與DCT算法、KSVD?ROMP算法相比較，結(jié)果顯示本文算法計(jì)算時(shí)間最短，重構(gòu)精度更高，可很好地用于電能質(zhì)量信號(hào)重構(gòu)中。

1?壓縮感知與過完備字典

壓縮感知[17?19]的核?心思想為：若一個(gè)R?N空間的信號(hào)x為長度N的一維信號(hào)，信號(hào)x稀疏度為k（即含k個(gè)非零值），或在某個(gè)正交基Ψ上具有稀疏性，那么可將原始信號(hào)x通過一個(gè)與正交基Ψ不相關(guān)的測(cè)量矩陣ΦMXN（M>K，M<<N）進(jìn)行非自適應(yīng)線性投影，得到保持原始信號(hào)結(jié)構(gòu)且遠(yuǎn)小于信號(hào)長度的測(cè)量值y（M×1）。最后通過求解數(shù)值最優(yōu)化問題精確重構(gòu)原始信號(hào)x。一般的自然信號(hào)x本身并不是稀疏的，需要在某種稀疏基上進(jìn)行稀疏表示：x=Ψs，Ψ為稀疏基矩陣，s為稀疏系數(shù)（s只有K個(gè)是非零值（K≤N））。將原來的測(cè)量矩陣Φ變換為Θ=ΦΨ（Θ?稱之為傳感矩陣），壓縮感知觀測(cè)模型如式（1）所示。

常用的稀疏基有快速傅里葉稀疏變換基（FFT）、離散小波變換稀疏基（DWT）、離散余弦變換稀疏基（DCT）等正交變換矩陣。由于電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)時(shí)頻變化范圍較廣，在上述變換基?Ψ下仍會(huì)不稀疏或不夠稀疏，因此可采用適合信號(hào)本身特征的過完備字典D對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏表示。式（2）所示為信號(hào)在過完備字典D域下的變換過程，稀疏系數(shù)s利用字典D變換為信號(hào)X，再經(jīng)過觀測(cè)矩陣Φ得到壓縮感知觀測(cè)值Φ為隨機(jī)矩陣。過完備字典D為?非正交基，可以較好滿足壓縮感知的非相干性，即滿足RIP性質(zhì)[14]：

2?KSVD?NRAMP算法

2.1?KSVD?NRAMP算法

在信號(hào)的稀疏表示中，選擇不同的冗余字典，信號(hào)重構(gòu)效果不同。常用的冗余字典包括隨機(jī)字典、DCT 字典、傅里葉基字典以及小波基字典[13?15]等。為有效訓(xùn)練一個(gè)用于信號(hào)稀疏表示的字典，Elad&Aharon[20]提出K奇異值分解算法，可同時(shí)更新當(dāng)前原子和相應(yīng)的稀疏系數(shù)。通過字典學(xué)習(xí)方式得到的過完備字典能自適應(yīng)地對(duì)信號(hào)進(jìn)行很好的稀疏表示。本文根據(jù)信號(hào)本身非線性非穩(wěn)態(tài)特征訓(xùn)練學(xué)習(xí)過完備字典，這類字典中的原子與訓(xùn)練集中的信號(hào)本身相適應(yīng)。與基于正交基方法字典相比， 通過學(xué)習(xí)獲得的字典原子數(shù)量更多， 形態(tài)更豐富， 能自適應(yīng)地與信號(hào)本身的結(jié)構(gòu)匹配， 具有更稀疏的表示。

令?n維矩陣D∈Rn×K為學(xué)習(xí)訓(xùn)練后的過完備字典，y∈R?n及x∈R?n分別代表訓(xùn)練樣本信號(hào)和對(duì)應(yīng)的稀疏表示向量，矩陣Y={y?i}?N?i=1為N個(gè)訓(xùn)練信號(hào)樣本組成的集合，矩陣X={x?i}?N?i=1 表示每個(gè)信號(hào)樣本所對(duì)應(yīng)的稀疏解向量所組成的集合，T?0?為各稀疏表示向量中非零元素總數(shù)的上限，則KSVD?NRAMP算法的學(xué)習(xí)目標(biāo)可以表示為：

因?yàn)殡娔苜|(zhì)量信號(hào)為一維信號(hào)，所以將信號(hào)數(shù)據(jù)?S以長度N分割得到原子，之后隨機(jī)選取k個(gè)原子組成樣本集合x?。

KVSD?NRAMP算法關(guān)鍵步驟：①稀疏編碼階段。在該階段， 根據(jù)電能質(zhì)量信號(hào)的非線性非穩(wěn)態(tài)特征，采用迭代式匹配追蹤得到信號(hào)的稀疏特征矩陣，然后對(duì)矩陣原子進(jìn)行歸一化處理，將特征量縮放至[0，1]區(qū)間，縮小特征矩陣原子差異，使其梯度下降過程更加筆直從而縮小特征矩陣原子差異，加快函數(shù)收斂速度以加快計(jì)算速度，得到歸一化處理后的初始稀疏系數(shù)矩陣?X;②根據(jù)訓(xùn)練迭代誤差，利用訓(xùn)練學(xué)習(xí)方式，對(duì)得到的初始稀疏系數(shù)矩陣X進(jìn)行奇異值分解，然后從字典中選出一組和原始信號(hào)或殘余最匹配的原子更新字典，以獲得信號(hào)的最優(yōu)展開函數(shù)，改善算法迭代結(jié)束條件受步長波動(dòng)造成的信號(hào)重構(gòu)精度低的問題。將回溯思想和逐步搜索原子字典更新相結(jié)合，添加段變換和步長信息，在反復(fù)迭代過程中不斷調(diào)整步長，進(jìn)行殘差r比較，動(dòng)態(tài)探測(cè)并且逼近信號(hào)x的實(shí)際稀疏度。在每一次迭代中，S（索引集）利用式（5）獲得測(cè)量矩陣Φ?的各個(gè)測(cè)量值：

本輪迭代的候選集合?C是由本輪索引集S與上一輪迭代中的稀疏系數(shù)矩陣F合并而來，而當(dāng)前迭代的稀疏系數(shù)矩陣F是僅當(dāng)上一輪迭代中計(jì)算出的新殘差值小于原來殘差值時(shí)，由當(dāng)時(shí)迭代的候選集合C?賦值而來。

本文根據(jù)電能質(zhì)量信號(hào)非線性非平穩(wěn)特征，構(gòu)建一個(gè)MXN的高斯隨機(jī)矩陣作為觀測(cè)矩陣，設(shè)計(jì)方法為：構(gòu)造一個(gè)大小為MXN的矩陣?Φ，使Φ中的每一個(gè)元素獨(dú)立服從均值為0、方差為1/M的高斯分布，如式（4）?所示。

該觀測(cè)矩陣具有很強(qiáng)的隨機(jī)性。實(shí)驗(yàn)證明，用本文觀測(cè)矩陣觀測(cè)電能質(zhì)量信號(hào)樣本時(shí)，其不僅滿足約束等距條件，且?guī)缀跖c任意稀疏信號(hào)都不相關(guān)，所需測(cè)量次數(shù)最少。通過實(shí)驗(yàn)分析，觀測(cè)效果優(yōu)于一致球測(cè)量矩陣、二值隨機(jī)矩陣以及局部傅里葉矩陣。

2.2?算法流程

（1）使用MATLAB仿真得到9種電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)樣本，將樣本?隨機(jī)分成S，X兩部分，S部分為用于生成電能質(zhì)量信號(hào)學(xué)習(xí)字典，X部分用于產(chǎn)生壓縮感知框架?下的觀測(cè)矩陣。

（2）通過?數(shù)據(jù)S得到電能質(zhì)量信號(hào)初始學(xué)習(xí)字典以及待訓(xùn)練樣本集合Q，再采用貪婪迭代匹配追蹤得到初始稀疏系數(shù)矩陣F?。

（3）稀疏系數(shù)矩陣?F中的特征向量進(jìn)行歸一化處理，將特征量縮放至[0，1]區(qū)間，得到歸一化處理后的矩陣F?i?。

（4）用訓(xùn)練學(xué)習(xí)的思想對(duì)步驟（3）得到的矩陣原子進(jìn)行奇異值分解，每次分解從字典中選出一組和原始信號(hào)或殘余最匹配的原子更新字典，以獲得信號(hào)的最優(yōu)展開函數(shù)，并交替更新字典原子。

（5）將回溯思想和逐步搜索原子字典更新相結(jié)合，添加段變換和步長信息，在反復(fù)迭代過程中不斷調(diào)整步長，比較殘差?r，動(dòng)態(tài)探測(cè)并且逼近信號(hào)x?的實(shí)際稀疏度。

（6）用公式（4）設(shè)計(jì)M×N維的高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣?Φ?。

（7）初始化殘差?r?0=y，size=step，階段stg=1?。

（8）若?r?new/r?y<sigma，則?不進(jìn)入迭代，直接進(jìn)入步驟（11），否則進(jìn)入步驟（9）。

（9）利用式（6）計(jì)算出?u，取前最大的size個(gè)對(duì)應(yīng)索引值構(gòu)成索引集合S?。

（10）獲得索引集合?C=S∪F，同樣利用式（5）計(jì)算出F?new?，利用式（7）得到新的殘差。

（11）如果滿足終止條件，則退出迭代，進(jìn)入步驟（8），否則進(jìn)入步驟（7）。

（12）如?‖r?new‖?2≥‖r?pre‖?2，則stg=stg+1，size=stg×step，否則r?pre=r?new，F(xiàn)=F?new?，進(jìn)入步驟（2）。

（13）利用最小二乘法，求出最優(yōu)稀疏系數(shù)?=（R?TR）-1·R?Ty?。

（14）得到?后，利用步驟（3）經(jīng)歸一化處理后的矩陣F?i及步驟（5）中的觀測(cè)矩陣Φ可得重構(gòu)信號(hào)=ΦF?i?。

3?實(shí)驗(yàn)

3.1?硬件環(huán)境及信號(hào)模型

為了驗(yàn)證本文算法的有效性及優(yōu)越性，硬件環(huán)境統(tǒng)一采用Win7 32位操作系統(tǒng)，4GB內(nèi)存，Intel Core i5-2410M CPU 2.30 GHz，利用Matlab 2010b生成9種電能質(zhì)量信號(hào)（電壓暫降、電壓暫升、電壓尖峰、電壓缺口、電壓振蕩、電壓諧波、電壓中斷、電壓脈沖以及電壓閃變）各1 500個(gè)樣本，如圖1所示，信號(hào)的采樣頻率為6 400Hz，電壓基波頻率為100Hz，信號(hào)長度N=600，測(cè)量次數(shù)M=128。

3.2?性能指標(biāo)重構(gòu)評(píng)估

為了客觀評(píng)估分析本文KSVD?NRAMP算法在電能質(zhì)量信號(hào)稀疏重構(gòu)應(yīng)用中的性能，采用式（8）～式（11）中的均方誤差百分值（MSE）、重構(gòu)信噪比（SNR）、能量恢復(fù)系數(shù)（ERP）以及壓縮率（CR）4項(xiàng)指標(biāo)，對(duì)本文方法與DCT算法、KSVD?ROMP算法進(jìn)行重構(gòu)效果評(píng)估，同時(shí)通過程序計(jì)算時(shí)間比較3種算法的實(shí)時(shí)性。

3.3?實(shí)驗(yàn)與分析

3.3.1?重構(gòu)誤差與計(jì)算時(shí)間對(duì)比

本次實(shí)驗(yàn)使用DCT、KSVD?ROMP及KSVD?NRAMP3種算法分別對(duì)電壓驟降信號(hào)進(jìn)行稀疏重構(gòu)。圖2為DCT算法恢復(fù)誤差，圖3為KSVD?ROMP算法恢復(fù)誤差，圖4為KSVD?NRAMP算法恢復(fù)誤差。表1為3種算法對(duì)電壓驟降信號(hào)稀疏重構(gòu)200次的平均運(yùn)行時(shí)間。由圖2、圖3可知，在擾動(dòng)信號(hào)出現(xiàn)和結(jié)束時(shí)，DCT與KSVD?ROMP兩種算法由于生成的稀疏特征矩陣原子差異過大，迭代結(jié)束條件受步長波動(dòng)影響較大，導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)時(shí)出現(xiàn)丟失信號(hào)時(shí)變特征情況，同時(shí)由于重構(gòu)步長非自適應(yīng)造成運(yùn)行時(shí)間過長。表1中DCT算法與KSVD?ROMP算法重構(gòu)信號(hào)平均運(yùn)行時(shí)間為13.83s和10.28s。

而本文算法將稀疏系數(shù)矩陣中的特征向量進(jìn)行歸一化處理，將特征量縮放至[0，1]區(qū)間，將矩陣內(nèi)所有特征系數(shù)歸一化為同一數(shù)量級(jí)，簡化了計(jì)算，從而提高運(yùn)行速度。同時(shí)不斷調(diào)整步長，改善算法迭代結(jié)束條件以提高信號(hào)重構(gòu)精度。

3.3.2?壓縮率與魯棒性實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文KSVD?NRAMP算法在不同壓縮率下的有效性和魯棒性，在不同壓縮率下分別使用3種算法進(jìn)行電能質(zhì)量信號(hào)稀疏重構(gòu)。選取重構(gòu)信噪比（SNR）、均方誤差百分值（MSE）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比分析。

圖5為電能質(zhì)量信號(hào)在壓縮率為50%～90%時(shí)，3種算法的重構(gòu)信噪比（SNR）曲線，圖6為壓縮率為50%～90%時(shí)，3種算法的均方誤差百分值（MSE）曲線。

圖5?不同CR下的重構(gòu)SNR曲線

圖6?不同CR下的重構(gòu)MSE曲線

由圖5、圖6可知，對(duì)于電能質(zhì)量信號(hào)，當(dāng)壓縮率（CR）在50%～90%時(shí)，本文所提算法與DCT算法和KSVD?ROMP算法比較，重構(gòu)信噪比（SNR）高出26～28dB，且均方誤差（MSE）也明顯小于其它兩種算法。由此可知，本文所提算法在保持高壓縮率狀況下，不僅很好地保留了電能質(zhì)量信號(hào)特征，改善了信號(hào)重構(gòu)性能，完全滿足電能質(zhì)量信號(hào)分析要求，還可保證強(qiáng)魯棒性。

3.3.3?實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析

為更好驗(yàn)證本文算法的有效性及普適性，針對(duì)9種常見電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)各進(jìn)行200次實(shí)驗(yàn)，取平均實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

由表2可知，當(dāng)使用本文算法重構(gòu)電能質(zhì)量信號(hào)時(shí)，9種重構(gòu)信號(hào)的信噪比SNR均在50dB以上，能量恢復(fù)系數(shù)EPR穩(wěn)定高于99.89%，很好地保留了原始信號(hào)絕大部分能量，且均方誤差MSE極小，進(jìn)一步驗(yàn)證了本次實(shí)驗(yàn)的有效性和正確性。

4?結(jié)語

本文提出的KSVD?NRAMP稀疏重構(gòu)算法通過歸一化稀疏矩陣原子，將特征向量縮放，縮小稀疏矩陣原子差異，加快函數(shù)收斂速度，提高了算法重構(gòu)精度，減少了算法運(yùn)行時(shí)間，可以很好地用于電能質(zhì)量信號(hào)重構(gòu)。該算法在迭代過程中，根據(jù)信號(hào)特征不斷調(diào)整步長，保證了算法在高壓縮率下的魯棒性。同時(shí)利用奇異值分解不斷更新字典，保留型號(hào)特征，避免了算法迭代殘差計(jì)算時(shí)造成的誤差。由實(shí)驗(yàn)可知，當(dāng)壓縮率（CR）在50%～90%時(shí)，本文所提算法重構(gòu)信噪比（SNR）高達(dá)54dB～81dB，魯棒性強(qiáng)。將該算法與電能質(zhì)量信號(hào)識(shí)別結(jié)合，為電能質(zhì)量信號(hào)檢測(cè)與分析提供了一種新思路。

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