運用幾何直觀 助力數學思考

李淑媚

數學思考是一種深層次的、全面的思維活動。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象。幾何直觀貫穿整個數學學習過程，而數學思考是數學教學中最有價值的行為。筆者結合自己的教學實踐，談一談如何在概念、計算、解決問題等方面的教學中運用幾何直觀來促進學生的數學思考。

一、運用幾何直觀，建立表象，助力概念理解

概念教學是大多數學教學的起點。有些數學概念比較抽象枯燥，小學生受到自身知識經驗水平和思維水平的限制與影響，往往不易理解。合理運用幾何直觀，幫助學生建立豐富的表象，可以讓概念變得形象、有趣，使得他們勤于思考，形象記憶深刻，概念理解變得簡單。

例如：教學“角的初步認識”一課。角的概念對于學生來說是極其抽象的。教師創設參觀校園的情境，讓學生找出各種熟悉的圖形，從而引出角的認識。接著，借助實物直觀，讓每位學生都拿出事先準備的三角尺。學生自選一個角，模仿教師操作，用手摸一摸，初步感知角的頂點和邊的特征。當學生對角已經有了一些感覺，便可以借助圖形直觀，讓學生觀察圖中的物體，如鐘面、剪刀、三角尺上的角，想一想角都藏在哪兒，并指出來。教師明確操作要領：要先指頂點，從頂點出發，再分別指角的兩條邊。借助幾何直觀讓學生充分地感知、認識角以后，教師利用課件演示從實物中抽象出的角。教師引導：“這些生活中的角在數學上該怎樣表示呢？你們看，我們把剪刀、三角尺、鐘面先請回去，就是數學上的角了。這三個圖形都是角。閉上眼睛想一想，角是什么樣的？再用手比劃比劃角的模樣。”最后，學生在教師的指導下認識角各部分的名稱及特征。

學生通過找一找、摸一摸、指一指，從實物直觀、圖形直觀中抽象出角的形狀，初步體會角是從物體表面抽象出來的幾何圖形，再通過比較不同的角，找到共同特征，逐步建立角的正確表象。讓學生在借助幾何直觀進行思考的過程中發展形象思維和抽象思維。

二、運用幾何直觀，溝通聯系，助力算理理解

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出要發展學生的運算能力。在小學數學計算教學中，我們希望學生算得又對又快，這個目標的達成必須建立在學生準確理解算理，掌握算法的基礎上。借助幾何直觀，能幫助學生積極參與數學思考，理解算理，從而掌握算法。幾何直觀在小學數學計算教學中起著舉足輕重的作用。

例如：人教版三上“筆算乘法”例1一課。對于問題“怎樣算一共有多少支彩筆？”學生都能列出算式12×3。這時，教師先讓學生估一估12×3大約是多少，接著讓學生獨立算出12×3的準確結果。有的學生利用乘法的意義列出加法算式，12+12+12=36（方法1）。有的學生用口算10×3=30，2×3=6，30+6=36（方法2）。這時，就有部分學生不太明白方法2的算理。當學生的思維出現障礙的時候，教師及時指導學生通過擺小棒來幫忙理解，并提出活動要求。如擺一擺：擺小棒表示12×3；想一想：想每一個算式對應的小棒在哪里；圈一圈：圈每一個算式對應的小棒。讓學生在操作中能有序地思考。

操作活動完成后，教師先提問：“10×3=30表示什么意思，它對應的小棒在哪里？”請學生到黑板前說一說，將對應的算式和小棒圈起來。學生發現10×3=30表示3個十相加，小棒里也有3個十。接著讓學生分別說一說、圈一圈2×3=6與30+6=36。在這一環節中，學生借助小棒擺一擺，然后想一想、圈一圈，能夠較為順利地理解方法2的算理，為理解乘法豎式做準備。

課堂最后呈現方法3（列豎式）。教師通過問題：“你們能看懂這豎式是怎么算的嗎？”讓學生指一指、說一說，初步理解乘法豎式的意義。學生發現12×3用豎式和口算都能解決，進而思考它們之間的聯系。教師適時引導學生思考：課件中的小棒圖、算式、豎式之間有什么聯系。當教師指出豎式中的一個數字（6或3）時，請學生想一想它相當于小棒的哪一部分，也相當于口算的哪一部分。以擺小棒為橋梁，將口算與筆算進行了有效溝通，學生直觀地理解筆算乘法的算理，掌握筆算乘法的計算方法。

三、運用幾何直觀，深入思考，助力數量關系分析

解決問題向來是小學數學的教學難點，純文字題極大考驗學生的數學思考能力，而理清數量關系是解決問題的關鍵。在教學時，充分利用幾何直觀，來描述和表征問題情境中抽象的數量關系，能將抽象的問題變得直觀。學生在經歷幾何圖形、數學語言、符號表征的合情轉化中一次次深入地思考，體會到運用幾何直觀解決數學問題的優勢。

比較下面兩道題，選擇合適的方法解答。

（1）有4排桌子，每排5張，一共有多少張？

（2）有2排桌子，一排5張，另一排4張，一共有多少張？

例如：進行上述解決問題教學。獨立觀察兩題，都是學生根據以往的知識經驗便能直接列式解答的。教材把這樣的兩道題放在一起，顯然是為了讓學生在解決問題的過程中進一步區分乘法和加法的意義。如果只借助語言表征來區分意義，學生對問題的思考可能浮于表面。而借助幾何直觀，便能有效地將具體問題和運算意義聯系起來，由此來解釋算法的合理性。

在教學中，學生列出算式（1）5×4=20（張），（2）5+4=9（張）。教師適時追問：“這兩題中都有4和5，為什么解答的方法不同？你能用什么方法讓大家一眼就能看明白嗎？”問題激發了學生的思考，他們按照自己喜歡的方法把算式的意義表示出來。有的學生根據題（1）的信息，每一排擺5張卡片，擺了4排。教師順勢引導學生根據信息檢查擺圖是否正確并啟發他們數“1個5，2個5，3個5，4個5”。學生發現要解決的問題是“一共有多少張”，其實就是把4個5加起來，所以用乘法計算5×4=20（張）。教師再讓學生檢查剛才列的算式是否正確表示了圖意。接著，教師展示學生用不同的圖示方法，也都表示了“把4個5加起來”。分析第二個算式，學生根據題中信息，第一排擺5張卡片，第二排擺4張卡片，問題也是“一共有多少張”。但這里是把1個4和1個5合起來，所以列的算式是5+4=9（張）。至此，學生驚喜地發現，抽象的數學問題經過擺一擺、畫一畫已經變得簡單明了。最后，教師追問：“現在你們能明白為什么兩道題中都有4和5，一道用乘法計算，一道用加法計算嗎？”這時，學生已經能用數學語言清楚地進行表達了。

借助替代物，學生經歷了擺或畫的過程；直觀的圖示，為枯燥的文字和算式之間搭起一座橋梁。學生借助幾何直觀進行多次思考，對數量關系的理解清晰而深刻。

幾何直觀是小學生必須具備的一種數學素養，它可以直觀呈現問題的本質，是學生進行數學思考的推動力，有助于他們理解抽象概念，掌握算理，分析數量關系，從而有效地解決問題。endprint