數學學習中的抽象思維及其教學策略

曹培英

【編者按】人們都說數學是抽象的，抽象思維是學生應當具備的數學素養之一。教師在實際教學中，面對著以形象思維為主的學生，如何培養其抽象思維，謀求數學的抽象性與兒童思維形象性的和諧統一，對于教學目標的達成，學生的后續學習都是十分重要的。本期話題，圍繞“小學數學教學中學生抽象思維養成”展開探討。

一、相關概念的辨析

1. 抽象思維與邏輯思維。

心理學認為，思維是一種基于感知覺、超越感知覺的認知活動；它是人腦借助語言、表象或動作實現的，對客觀現實概括、間接地反映，它反映的是事物的本質屬性與事物之間的聯系。按照發展水平的不同，思維可分為直觀動作思維、具體形象思維、抽象邏輯思維（又叫作抽象思維或邏輯思維）。

也就是說，在心理學中，抽象思維就是邏輯思維。抽象思維既不同于以動作為支柱的動作思維，又有別于以事物表象為支撐的形象思維，它是以概念、判斷、推理的形式反映客觀事物本質特征與內在聯系的思維。

例如：計算7-3。兒童依靠扳手指的動作獲得答案，屬于動作思維；憑借頭腦中的直觀形象得出結果，則是形象思維；而依據數的組成想出得數，就是初步的抽象思維了。

2. 抽象、概括與抽象思維。

按照心理學的解釋，所謂抽象是指在分析、綜合、比較的基礎上抽取同類事物具有的共同的、本質的特征，舍棄個別的、非本質特性的思維過程。

這種抽取事物本質特性的思維過程也有程度（水平）的區別。例如，從具體的一個個物體抽象出它們的數“1”，無疑是一種抽象，由具體的數1、2、3……抽象出自然數的概念，則是更高水平即抽象程度更高的抽象。

所謂的概括也是思維過程的一種，它是在抽象的基礎上，把抽象出來的事物共同的本質特征綜合起來，并推廣到同類事物上去的過程。可見，抽象聯系著概括，概括必須借助于抽象。

例如：教學三角形的認識。從現實原型抽象出三角形的圖形，再到概括三角形的圖形特征，再描述概念。這是小學數學概念形成的典型過程，抽象與概括的相互聯系可見一斑。

我們通常在兩種意義下使用“抽象思維”這一名詞：一是指相對于形象思維而言的邏輯思維，二是指與具體化相對的一種思維過程。不難理解，抽象與抽象思維都是思維的過程，它們的區別在于前者是“舍去→抽取”的思維過程，后者是“概念→判斷→推理”的思維過程。它們之間的內在聯系，最明顯的是：抽象思維得以實現的前提就是從實體中抽象出概念，進而才有依據概念的判斷與推理。實際上，抽象與抽象思維的緊密聯系具有更廣泛的表現。例如：由長5厘米、寬3厘米的長方形根據乘法的含義推出它的面積是“5×3”平方厘米，這是相對具體的推理，然后抽象出長方形一行a個面積單位，有這樣的b行面積單位，進而推導出長方形的面積等于“長×寬”，顯然是更為抽象的推理。

有別于心理學的視角，在數學及其教學研究中，習慣上也常常將“抽象”說成“抽象方法”與“抽象思想”。前者是因為思維過程蘊含方法；后者是鑒于數學在本質上研究的是抽象的東西，數學發展所依賴的最重要的基本思想就是抽象。

二、抽象思維與數學學習的關系

抽象思維的兩種含義都與數學學習密切相關。

首先，抽象是數學的起點，數學的研究對象，無論是數與形，還是數量關系與圖形關系，都是抽象的結果。可以說，沒有抽象就沒有數學，也就沒有數學的學習內容。

國外對數學能力的研究，影響較大的如蘇聯心理學家克魯捷茨基關于數學能力結構的研究，通過實證得到：迅速、廣泛地概括數學材料的能力，在各數學能力成分中位于首位。我國的心理學研究者如朱智賢、林崇德則更一般地認為：發展學生的概括能力是發展思維、培養智力的一個重要環節。畢竟思維發展的重要指標就是學生能從具體事物中概括出抽象的東西。

這些研究之所以特別關注概括，可能主要是由于抽象與概括的思維過程，最終是通過概括顯性表現。實踐同樣表明，讓學生經歷抽象與概括的思維過程，是把數學對象從具體情境中剝離出來并提升意義理解的重要手段。

其次，概念、判斷與推理等思維形式不同程度地貫穿數學學習的始終，因此真正的數學學習離不開邏輯思維，反過來，數學學習又是發展學生邏輯思維的主要途徑。這是數學的學科特點，也是它的育人優勢。

三、培養小學生抽象思維能力的主要策略

這里僅就小學數學中的抽象過程，例談若干比較直接、主要的教學策略。

1. 從具體到抽象。

這一基于抽象本意（相對于具體化的思維過程）的教學策略，無疑是讓學生經歷抽象、概括思維過程的基本策略。

例如，加法交換律的教學（人教版四下）。從具體的實際問題（李叔叔騎車旅行）抽象出具體的算式（40+56，56+40），并且補充具體的算式例證，再到用語言、用符號概括例證中加法運算共同的特性，最后用字母表達。這一“去情境化→數學化”的整個教學活動反映了相當完整的抽象、概括的思維過程，有效引領學生實現從具體到抽象的數學認知。

有必要指出，上述過程中“補充具體算式例證”，旨在豐富、增強學生的感性認識，但與其追求例證數量，不如追問：“還需要更多的例子嗎？為什么？”從而啟發學生用自己的語言，對規律作出解釋。就如：從數數的順序與結果無關、從加法的意義“合并”等視角，說明規律的必然性。因為例證舉得再多，既無法窮盡，也無法確保不出現例外，而說明算理，則相當于揭示了其中的因果關系。這也有助于提升學生的抽象、概括的理解水平。

2. 從直觀到抽象。

小學生的思維特點是從以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式。在這過渡中，仍然需要直觀形象的支撐。因此，加強直觀教學是小學數學的主要對策。

以分數初步認識為例，各地教師都非常重視實物直觀、圖形直觀的應用。

提問：“為什么不同的折法，每一份都是四分之一？”讓學生通過自己的語言表達促進抽象。

（2）用分數表示每個圖中的一份（圖2）。

提問：“為什么不同的圖形，每一份還是四分之一？”幫助學生進一步抽象，感悟分數的實質。

3. 從經驗到抽象。

小學數學化解抽象的常用手段及其策略，除了用好幾何直觀，還有調動學生的生活經驗與學習經驗。

例如：學習異分母加法。教師通過以下幾題的比較異同，啟發學生抽象出加法的原理：（1）3元7角+2元=？（2）37+20=？（3）3.7+2=？

這里既有生活經驗（人民幣的計算），也有先前的學習經驗（整數、小數的加法），通過計算（都是3+2）、說理，不難抽象概括出“相同計數單位的數相加”的共同本質。

4. 重視思維互逆過程的體驗。

從具體、直觀到抽象的過程與從抽象到具體、直觀的過程，構成了雙向的聯想（聯結）與可逆的心理過程，它們常常相輔相成，能夠有效地促進學生的抽象思維，提升理解水平。

例如：乘法分配律的教學（滬教版四上），先由具體實例、數形結合，引出兩種算法，并加以比較。在此基礎上教學超越問題的現實情境，過渡到抽象的數學模式（用字母表示）。進而引導學生將分配律應用于具體的實例。

顯然，通過數學結論返回具體的應用與解釋，上述教學在鞏固學生抽象認知的同時，還培育了他們的數學應用意識。

此外，把握抽象概括的時機、及時抽象與逐步抽象，以及多種手段、方式的協同等策略，就不再一一展開了。endprint