聚焦圓中角的應用

文/翟士波

在圓中，圓心角與圓周角是最常見的角.它們與弦、弧和扇形的聯系比較密切，是中考命題的重點.下面舉例說明圓中角的各種應用.

一、求角的大小

1.利用圓心角求圓周角

例1 如圖1，△ABC內接于⊙O，且OB⊥OC，則∠A的度數是（ ）

A．90°. B．50°. C．45°. D．30°.

溫馨小提示：在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．

圖1

2.利用圓周角求圓心角

例 2 如圖2，點A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，則∠BOC的度數為（ ）

A．25°. B．50°. C．60°. D．80°.

解：∵OA=OB，∠BAO=25°，∴∠B=25°．

∵AC∥OB，∴∠CAB=∠B=25°，

∴∠BOC=2∠CAB=50°．選B．

溫馨小提示：在圓中，常用到圓的半徑相等構造等腰三角形解題．

圖2

3.利用直徑所對的圓周角是直角求角

例 3 如圖3，AB是⊙O的直徑，點C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，則∠BCD的度數為（ ）

A．100°. B．110°. C．115°. D．120°.

解：連接AC.

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，

∵∠AED=20°，∴∠ACD=20°，

∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°. 選B．

溫馨小提示：當有直徑時，通常會添加輔助線，利用直徑所對的圓周角是直角解題．

圖3

4.利用圓內接四邊形對角互補求角

例4 如圖4，A，B，C是⊙O上的三點，且四邊形OABC是菱形.若點D是圓上異于A，B，C的另一點，則∠ADC的度數是______．

解：連接OB.

∵四邊形OABC是菱形，∴AB=OA=OB=BC，

∴△AOB是等邊三角形，即∠AOB=60°，∴∠AOC=120°，

∴∠ABC=∠AOC=120°.

答案為：60°或120°．

溫馨小提示：已知圓上的三點，當第四個點的位置不確定時，要畫出圖形,利用圓的相關定理求解．

圖4

5.利用圓心角、圓周角求其他角

例5如圖5，AB是⊙O的直徑，直線DA與⊙O相切于點A，DO交⊙O于點C，連接BC，若∠ABC=21°，則∠ADC的度數為（ ）

A．46°. B．47°. C．48°. D．49°.

解：∵OB=OC，∴∠BCO=∠B=21°，

∴∠AOD=∠B+∠BCO=21°+21°=42°，

∵AB是⊙O的直徑，直線DA與⊙O相切于點A，

∴∠OAD=90°，∴∠ADC=90°-∠AOD=90°-42°=48°．

選C．

溫馨小提示：出現切線時，通常連接圓心和切點,構造直角三角形求解．

圖5

二、求弦長

例 6 如圖6，△ABC內接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分線交⊙O于D.若AC=6，則BC的長為_____．

解：連接AD.

∵∠ACB=90°，∴AB是⊙O的直徑.

∵∠ACB的角平分線交⊙O于D，

∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠DAB=∠DBA=45°，

∵AB是⊙O的直徑，∴△ABD是等腰直角三角形，

溫馨小提示：求弦長，一般需要構造直角三角形，轉化為求直角三角形的邊的問題．

圖6

三、求弧長

例 7 如圖7，?ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD為直徑的⊙O交CD于點E，則的長為（）

解：連接OE.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，∴OA=OD=3，

∵OD=OE，∴∠OED=∠D=70°，∴∠DOE=180°-2×70°=40°，

溫馨小提示：熟練掌握平行四邊形的性質，求出∠DOE的度數是解題的關鍵．

圖7

四、求面積

例8 如圖8，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，若則圖中陰影部分的面積為（ ）

A.π+1. B.π+2. C.2π+2. D.4π+1.

解：連接OD,AD.

在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，

∴∠C=45°，∴∠BAC=90°，

∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，BO=DO=2，

∵OD=OB，∠B=45°，∴∠B=∠BDO=45°，∴∠DOA=∠BOD=90°，

溫馨小提示：把陰影部分拆分成扇形DOA和△DOB是解此題的關鍵．

圖8