生活中的圓

文/陳德前

圓已成為中考命題的熱點.現以典型題為例，說明圓在生活中的應用及其常用解法.

一、殘缺的圓形鏡

例1小紅不小心把家里的一塊圓形玻璃打碎了，需要配一塊同樣大小的玻璃鏡.工人師傅在一塊如圖1所示的玻璃鏡殘片的邊沿描出了點A，B，C，畫出三角形ABC，則這塊玻璃鏡的圓心是（ ）

A.AB，AC邊上的中線的交點.

B.AB，AC邊上的垂直平分線的交點.

C.AB，AC邊上的高所在直線的交點.

D.∠BAC與∠ABC的角平分線的交點.

解：由題意可得，所求的圓形玻璃是△ABC的外接圓面，

因此，圓心是△ABC三邊的垂直平分線的交點.選B．

溫馨小提示：三角形的外接圓是唯一確定的，其圓心是三邊的垂直平分線的交點．

圖1

二、求圓形門的最高點

例2圖2是明清影視城的一扇圓弧形門.小紅到影視城游玩，他了解到這扇門的相關數據：圓弧形門所在的圓與水平地面相切，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB，CD與水平地面垂直．根據以上數據，請你幫小紅計算出這扇圓弧形門的最高點離地面的距離.（）

A.2米. B.2.5米. C.2.4米. D.2.1米.

解：設圓弧形門所在的圓與水平地面的切點為F，連接AC，OF交于點E.

∵BD是⊙O的切線，∴OF⊥BD.

∵四邊形ABDC是矩形，∴AC∥BD，

∴OE⊥AC，EF=AB.

設⊙O的半徑為R.在Rt△AOE中，

∵AE2+OE2=OA2，即0.752+（R-0.25）2=R2，

解得R=1.25，1.25×2=2.5（米）.

選B．

溫馨小提示：涉及弦長、半徑、弦心距的計算問題，常把半弦長、半徑、弦心距集中到同一直角三角形中，利用勾股定理求解．

圖2

三、射門點的選擇

例3足球射門，不考慮其他因素，僅考慮射門點到球門AB的張角大小時，張角越大，射門點越好.如圖3的正方形網格中，點A，B，C，D，E均在格點上，球員帶球沿CD方向進攻，最好的射門點在（ ）

A.點C.

B.點D或點E.

C.線段DE（異于端點）上一點.

D.線段CD（異于端點）上一點.

解：如圖4，連接EB，AD，DB，AC，CB，作過點A，B，D三點的圓，可以確定點E在圓上，點C在圓外，根據圓周角及圓外角的性質可知∠AEB=∠ADB>∠ACB.因此，最好的射門點是線段DE（異于端點）上一點.選C.

溫馨小提示：當出現網格時，要充分利用網格的特點，為解題創造條件（如本題中，利用網格的特點判定點E在由A，B，D三點確定的圓上）．

圖3

圖4

圖5

四、求噪聲的影響范圍

例4 如圖5，公路MN和公路PQ在P點交匯，且∠QPN=30°，點A處有一所中學，AP=160m，假如拖拉機行駛時，周圍100m以內會有噪聲影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到影響？請說明理由.如果受到影響，已知拖拉機行駛的速度為18km/h，那么學校受影響的時間為多少？

解：（1）如圖5，過點A作AD⊥MN于點D.

所以學校會受到噪聲的影響.

（2）以點A為圓心，100m為半徑作⊙A，與MN交于B，C兩點，BC為受噪聲影響的路段.

∵AD⊥BC，∴BC=2BD=2×60=120（m）.

拖拉機的速度為18km/h，即為5m/s，120÷5=24（s）.

學校受到噪聲影響的時間為24s.

溫馨小提示：當拖拉機移動到D點時，噪聲的影響范圍為以D點為圓心，100m為半徑的圓的內部區域，而點A在此圓內．讀懂題意，建立數學模型是解題的關鍵．

五、測量鍋的直徑

例5小紅家的鍋蓋壞了，為了配一個鍋蓋，需要測鍋的直徑（鍋沿所形成的圓的直徑），而小紅家只有一把長20cm的直尺，沒有鍋的直徑長，怎么辦？小紅想了想，采用了以下的辦法：如圖6，首先把鍋平放到墻根，鍋沿剛好靠到兩端，用直尺緊貼墻面量得MA的長（如圖7），即可求出鍋的直徑.

（1）請你利用圖7說明她這樣做的理由；

（2）在現有條件下，你還能設計出另外一個可求出鍋的直徑的方法嗎？如果能，請在圖8中畫出示意圖，并說明理由（不必求出鍋的直徑）.

解：（1）如圖7，設圓心為O，連接OA，OB.

∵MA，MB與⊙O相切，∴∠OAM=∠OBM=90°，

又∵∠M=90°，OA=OB，

∴四邊形OAMB是正方形，

∴OA=MA.∴2MA就是鍋的直徑.

（2）如圖9，在鍋的邊上取三點A，B，C，使AB=AC，

量得AB，AC，BC的長，就能求出鍋的直徑.

設鍋的圓心為O，作直徑AD交BC于點E，連接BD，OB.

在Rt△ABE和Rt△OBE中，利用勾股定理求得AE，再求出OB，即能求出鍋的直徑.

溫馨小提示：數學就在我們的身邊,要善于運用數學知識解決生活中的實際問題．

圖6

圖7

圖8

圖9

六、求輸油管道的長

例6圖10是輸油管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構成一個直角三角形，兩直角邊分別為6m和8m.按照輸油中心O到三條支路的距離相等來連接管道，則O到三條支路的管道總長（計算時視管道為直線，中心O為點）是（ ）

A.2m. B.3m. C.6m. D.9m.

解：由勾股定理可得斜邊為10m.

設內切圓的半徑為r，利用面積法可得

三條支路管道的總長為2×3=6（m）.選C.

溫馨小提示：解答本題需具有一定的轉化能力和數學建模能力，巧用面積法解題．

圖10

七、窗戶的透光率

例7某景區修建一棟復古建筑，其窗戶設計如圖11所示，圓O的圓心與矩形ABCD的對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切（E為上切點），與左右兩邊相交（F，G為其中兩個交點），圖中陰影部分為不透光區域，其余部分為透光區域．已知圓的半徑為1m，根據設計要求，若∠EOF=45°，則此窗戶的透光率（透光區域的面積與矩形窗的面積的比值）為______．

分析：透光部分可分解為兩個直角三角形與四個45°的扇形，這樣可求出透光區域的面積，再求出矩形的面積，相比可得結果．

解：設⊙O與矩形ABCD的另一個切點為M，連接OM，OG，

則M，O，E共線.

由題意得∠MOG=∠EOF=45°，

∴∠FOG=90°，且OF=OG=1，

圖11

溫馨小提示：將透光部分的面積分為幾個規則圖形的面積是解題的關鍵．