數形結合思想在高中數學中的應用分析

◆富銳

(山東省高青縣第一中學)

一、數形結合的基本思路

數學問題的研究，其實就是研究各種數量的關系和各種空間的形式。數即數量，形即空間的表現方式。數和形是相互依存，相輔相成的關系，數給人的感覺是抽象的，但是卻可以通過圖形直觀的表現出來，所以數和形在某種條件下其實是可以相互轉化的。研究數量關系的時候，可以借助圖形，以便更好地理解。而在研究圖形時，借用數字標注，以便更加清晰。在數學中，數和形是兩個不相同的領域，數形結合卻可以把二者進行有機的統一。在高中數學解題方法中，數形結合是最基本的，也是最常用的解題方法。解決數量問題的時候，可以借用具體的圖形表現出來，把數轉化成具體的圖形。解決幾何問題的時候，可以借用代數信息把圖形轉化出來，變成具體的數字，再解答數字問題就可以了。所以在數和形二者的關系中，找出各自的優點，可以讓解題思路更加的清晰，進行更加徹底地解題。

二、數形結合解決問題遵循三原則

(一)數形結合的等價性原則

數形結合的時候，幾何性質和代數性質要進行等價的轉換，如果不遵循這個原則，解題時就會有漏洞。有時候，因為圖形具有局限性，并不能把數的一般性表現完整，這個時候圖形的性質就只能作為一種說明而顯得直觀，淺顯。

(二)數形結合的雙方性原則

數形結合的雙方性原則是指解題過程中，不僅要進行直觀的幾何分析，還要進行相對應的抽象的代數分析。如果只針對代數做出幾何的直觀分析就非常容易出現錯誤。

(三)數形結合的簡單性原則

不能因為數形結合而數形結合。在運用簡單性原則的過程中，首先要考慮可不可以利用，以及利用后是否可以簡便的解答，其次，要找好突破口，恰到好處的設參，用參，和建立關系，并轉化。最后，要注意隱含條件的挖掘，精準的確定參變量取值的范圍，尤其是在運用函數圖像解題時，最好想辦法選擇動直線和二次曲線。

三、數形結合思想運用時的注意事項

1.在運用數形結合思想進行分析問題，解決問題時，要對一些概念完全的明白，也要對運算的幾何意義完全的明白，更要對曲線的代數特征完全明白。

2.在運用數形結合思想進行分析問題，解決問題時，要恰到好處的設參，用參，以及建立關系，做好轉化。

3.在運用數形結合思想進行分析問題，要精準的確定其參數取值的范圍，避免遺漏或者重復。

4.在運用數形結合思想進行分析問題，進行“數”和“形”的精心聯想，把比較難解決的一些代數問題進行幾何化，幾何問題進行代數化，從而方便解答問題。

其實，非常多的數學概念都是有清晰明顯的幾何意義的，對這些幾何意義加以利用，通常可以得到事半功倍的解題效果。而且很多數學中的內容，其本身就可以作為數形結合的案例。例如，任意角的三角函數就是通過直角坐標系或者單位圓來進行定義的。例如，銳角的三角函數就是通過直角三角形來進行定義的。

四、具體解題案例

這道題就是通過把數的問題轉化成了圖形，利用圖形更加直觀的表現出了問題，通過數形結合，將復雜的問題簡單化，從而獲得答案。

五、結語

在數學解題過程中，數形結合得到了非常廣泛的運用，啟發了學生的思維方式，從具體到抽象，再由抽象到具體，這其中的規律，和轉換關系，可以讓學生從不同的角度去思考問題，進一步簡化解題的思路。通過數形結合的解題方法，可以把困難的問題簡單化，從而開闊了學生的思維。