數學

數值格式的穩定性、相容性和收斂性

許進超

摘要：目的：本文提出一套理論框架，用相容性、穩定性和收斂性來刻畫和分析數值格式，證明三者間的包含關系，并例證這套理論在數值格式分析中的應用。方法：穩定性、相容性和收斂性屬于數值分析學科中最基本的幾個概念，經典的數值分析教材都含有用穩定性、相容性和收斂性3個概念刻畫數值格式與分析三者間的相互關系的內容。本文提出新的理論框架，探討了數值解向精確解的收斂過程，不需要對離散輸入數據的取值范圍預作設定，原則上可以處理時間發展問題和靜態問題。在本文提出的等價定理的框架下，數值格式的收斂性分析將歸納為穩定性分析和相容性分析兩步；這樣的一個分析程式廣泛適用于不同的數值格式。我們針對變分問題的離散格式，例示了用本定理進行格式分析的具體程式。此外，數值格式的穩定性、相容性和收斂性是互相協調的，在一定的穩定性假設下，較高的相容性會導致較好的收斂性；另一方面，對相同的數值格式，在不同的穩定性條件下，可以藉由不同的相容性結果，得到不同的收斂性結果。結果：我們按照有限元方式和差分方式分別計算了Poisson方程線性元離散格式的相容性誤差。作為本文的另一個主要結果，我們證明線性元離散格式按照差分方式分析，可以是不相容的，并且如果線性元離散格式在差分方式下相容，那么，我們可以獲得相對應的超接近性結果。本文的理論結果說明了穩定性分析和相容性分析在離散格式收斂性分析中的必要性，并一般性地指出進行前兩種分析的形式和要求。這套理論框架可以用來分析不同問題和不同離散格式，而對相同的離散問題，該框架也可以甄別和容納不同的相容性和相應的收斂性；很多經典結果實際上是這個一般結果的某些具體形式。此外，我們例證較好的相容性可以對應更好的收斂性或逼近性質，從而給出改進算法的一個方向。結論：對比較廣的一類問題及其數值離散，本文定義了離散的穩定性、相容性和收斂性，并分析這三者間的包含關系。用穩定性、相容性和收斂性來刻畫和分析數值離散格式是數值分析的基礎性內容，本文的工作原則上可以向更一般的問題形式推廣。下一步，我們將研究如何在更一般的條件設定下建立理論框架和如何針對更一般的數值格式應用該框架進行分析，并進一步探討比較一般和抽象的理論研究對具體格式設計的指導機制。

來源出版物：中國科學（數學）, 2015, 45(8): 1205-1216

入選年份：2015