自主變式創(chuàng)編新題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維力

吳森雄

“課標(biāo)”指出“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地模仿和記憶”“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程”。這個(gè)過程是數(shù)學(xué)思維不斷拓寬，不斷加深，且多維交織，高速運(yùn)行的過程。無論是新課講學(xué)，還是練習(xí)復(fù)習(xí)，教師都應(yīng)以格外重視思維的訓(xùn)練，以思維能力為導(dǎo)向，避免知識(shí)的機(jī)械填鴨。中考復(fù)習(xí)時(shí)間緊，任務(wù)重，題目千變?nèi)f化，題海戰(zhàn)術(shù)要不得，那么，如何有效地提升學(xué)生的思維力呢？自主變式，創(chuàng)編新題，是一種有效的復(fù)習(xí)講評策略。下文將結(jié)合《幾何變換——旋轉(zhuǎn)》這節(jié)課的具體過程而談，與讀者分享。

一、出示典例，建構(gòu)思維起點(diǎn)

典型例題蘊(yùn)藏著典型的數(shù)學(xué)思想與方法。掌握典型例題的特點(diǎn)與解題方法，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建。教學(xué)中要善于挖掘這類例習(xí)題，巧妙改編，即通過一個(gè)典型的例題，最大可能的覆蓋知識(shí)點(diǎn)，把分散的知識(shí)點(diǎn)串成一條線，往往會(huì)起到意想不到的效果，有利于知識(shí)的建構(gòu)。

教學(xué)片斷：

如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，說明理由。

生1：因?yàn)锽E、DF不在同一條直線上，根據(jù)“截長補(bǔ)短”原理，通過旋轉(zhuǎn)則可以實(shí)現(xiàn)BE、DF在同一直線上。

師：很好，“截長補(bǔ)短”是解決“線段和差”問題的主要方法。

這道題難度不大，接近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，大部分同學(xué)能夠自主完成。

解：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE′，點(diǎn)F、D、E′在一條直線上。

∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF.

又∵AE′=AE，AF=AF，∴△AE′F≌△AEF（SAS），∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF.

教師引導(dǎo)學(xué)生逐句分析題設(shè)中所給出的各個(gè)條件，明確其在解題過程中所起到的作用，形成方法技能；接著引導(dǎo)學(xué)生得到本題的4個(gè)關(guān)鍵性條件：①ABCD是四邊形，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上；②AB=AD；③∠B=∠D=90°；④∠EAF=■∠BAD。結(jié)論是求EF=BE+DF（為接下來的例題改編做準(zhǔn)備）。

師：有一種不需“刷題”也能提高復(fù)習(xí)效率和成績的方法，那就是創(chuàng)編題目進(jìn)行變式，今天我們一起來體驗(yàn)改編試題變式的魔力。

師：所謂變式，就是改變原題條件和結(jié)論，或把條件和結(jié)論互換位置，或轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式，從而變成一道新題。如剛才的題目有4個(gè)條件：①ABCD是四邊形，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上；②AB=AD；③∠B=∠D=90°；④∠EAF=■∠BAD；結(jié)論是求EF=BE+DF。請同學(xué)們根據(jù)變式方法對題目進(jìn)行改編。

二、逆轉(zhuǎn)變式，翻轉(zhuǎn)思維緯度

逆轉(zhuǎn)變式是題目結(jié)構(gòu)的變式，是指變換題目的條件或結(jié)論，而題目的實(shí)質(zhì)不變，以便從不同角度，不同方面揭示題目本質(zhì)的一種思維策略。

教學(xué)片斷：

生3：根據(jù)圖形，我把題目的題設(shè)條件∠EAF=■∠BAD和結(jié)論EF=BE+DF互換位置，改成：

如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，連接EF，EF=BE+DF，則∠EAF=45°，說明理由。

師：生3認(rèn)真觀察圖形特征，把圖形語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，為大家做出了很好的示范，題目關(guān)鍵性條件和結(jié)論互換位置，改編成一道新題，其實(shí)是一道曾經(jīng)的中考舊題。大家試試看，能不能給出答案。

學(xué)生驚訝地看著生3，議論紛紛，原來中考題目離他們那么近。他們對這道題興趣盎然，都想成為下一道中考題目的命題人。

在例題的引領(lǐng)下，學(xué)生很快給出解題過程（解題過程略）。

三、拓展變式，拓寬思維深度

牛頓說過：“沒有大膽的猜想就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”中學(xué)生的想象力豐富，因此，可以通過例題所提供的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生大膽地進(jìn)行拓展變式創(chuàng)編新題，拓寬思維深度，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維。

教學(xué)片斷：

生4：我想把題目條件拓展一下，其中條件③∠B=∠D=90°等于90°去掉，即③∠B=∠D，題目變式為在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)AB=AD，∠B=∠D， ∠EAF=■∠BAD時(shí)，還有EF=BE+DF嗎？不過這只是我的猜想。

師：有創(chuàng)意，很多命題都經(jīng)歷先猜想后證明的過程，我們一起來幫助他證明這個(gè)命題能否成立吧。

小組討論過程中，同學(xué)們遇到一個(gè)棘手問題，由于題目條件的改變導(dǎo)致圖形的變化，那怎么畫圖呢？沒圖形便談不上分析和解答了。

師：研究一個(gè)問題，常從特例入手，同學(xué)們可把圖中的正方形改成菱形。

生5：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)∠BAD=120°，∠EAF=60°時(shí)，還有EF=BE+DF嗎？（學(xué)生把符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，利用幾何畫板很快畫好圖。）

師：符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言是題目改編的關(guān)鍵，同學(xué)們一起思考這道題。

在例題的引領(lǐng)下，學(xué)生很快給出解題過程。但有同學(xué)懷疑自己的解題過程和結(jié)論，因與預(yù)設(shè)結(jié)果不一致。

生6：把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△ADE′，如圖（2），連結(jié)E′F，根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AE′，∠EAF=∠E′AF，利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120°，則點(diǎn)F、D、E′不共線，所以DE′+DF>EF，即BE+DF>EF。

師：思路清晰，有根有據(jù)。

生7：這道題不完美，能否把題設(shè)條件改編一下，使結(jié)果EF=BE+DF成立呢？

小組討論2分鐘后——

生8：我觀察到“由于∠ADE′+∠ADC=120°，則點(diǎn)F、D、E′不共線，所以根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊即可得DE′+DF>EF”，如果旋轉(zhuǎn)后F、D、E′ 共線，應(yīng)該就有EF=BE+DF。endprint

師：觀察細(xì)致入微，根據(jù)思路先把題目改編一下。

生9：在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=■∠BAD時(shí)，EF=BE+DF嗎？

符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言是這道題的關(guān)鍵，學(xué)生根據(jù)題目條件不斷調(diào)整草圖，最后利用幾何畫板很快畫好圖。

在例題的引領(lǐng)下，學(xué)生很快給出解題過程。

學(xué)生10板書如下：

當(dāng)AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=■∠BAD時(shí)，EF=BE+DF成立.

生11：能得到這樣的一個(gè)命題嗎？“在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=■∠BAD時(shí)，EF=BE+DF.”

師：命題 成立，大家回去證明。這是中考題目中的“半角模型”。改編題目進(jìn)行變式讓我們了解了中考命題的奧秘。請同學(xué)們對這道題充分思考并進(jìn)行改編，找到更多的變式。老師給同學(xué)們一點(diǎn)提示，可連接BD，交AE、AF于點(diǎn)M、N，研究BM、MN、DN三者關(guān)系？也可以對正方形的邊進(jìn)行賦值，計(jì)算其他邊長或圖形面積等。

拓展變式，得出新題。讓學(xué)生對教師提供的材料，利用自己已有的知識(shí)去探索、猜想、建構(gòu)，解決最近發(fā)展區(qū)的問題，這是培養(yǎng)學(xué)生思維創(chuàng)造性的一種有效途徑。

課后再三思——

反思一：尊重學(xué)生的思維主體。以往的數(shù)學(xué)課，都是由教師對題目改編進(jìn)行變式，同學(xué)解決教師提出的問題，最后總結(jié)歸納這一類題的解決辦法。長此以往，學(xué)生就缺乏了主觀能動(dòng)性，造成“老師讓我做什么就做什么”的懶惰思維。尊重學(xué)生的思維主體性，讓學(xué)生主動(dòng)對題目經(jīng)行再創(chuàng)造，再加工，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，降低對幾何學(xué)習(xí)的恐懼。“我的課堂我做主”，學(xué)生主動(dòng)投入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，思維的發(fā)展，能力的增長，都變成了主動(dòng)生長的過程。

反思二：促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。題目的每一次創(chuàng)編變式都需要大量的縝密思考，創(chuàng)編變式不可能一蹴而就，曲折的過程更能暴露學(xué)生思維的痛點(diǎn)，及時(shí)修正才能通往正確的方向。因此，要不斷增強(qiáng)課堂的開放程度，抓住思維的起點(diǎn)、過程和誘因，創(chuàng)造廣闊的思維空間，為學(xué)生提供觀察、思考、交流、表現(xiàn)的機(jī)會(huì)，養(yǎng)成多思的習(xí)慣，讓學(xué)生在開放的思維活動(dòng)中獲取知識(shí)，提升思維能力，提升思維品質(zhì)。

反思三：激發(fā)學(xué)生的思維創(chuàng)造性。每一次創(chuàng)編題目都需要學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)進(jìn)行大膽的猜想。沒有大膽的猜想，就沒有偉大的創(chuàng)造。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極、大膽地進(jìn)行猜想和變式，讓學(xué)生在猜想和變式過程中更好建構(gòu)知識(shí)，并運(yùn)用變式對知識(shí)進(jìn)行再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，能有效地提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。【本文為廣東省教育研究院教育研究課題《基于“快樂和能力導(dǎo)向”的初中學(xué)科三年一體化建設(shè)的策略研究》（GDJY-2015-A-b069）研究成果之一】

責(zé)任編輯徐國堅(jiān)endprint