反證法在大學數學中的應用

楊國英　皇甫玉高

【摘 要】反證法是間接證明的一種重要方法，本文結合數學分析這門課程，歸納了幾種可以用反證法證明的命題類型。

【關鍵詞】反證法；類型；命題；證明

1 反證法是什么

反證法是一種論證方式，他首先假設某命題不成立，然后推理出明顯矛盾的結果，從而下結論說原假設不成立，原命題得證。牛頓曾說：“反證法是數學家最精當的武器之一”。

一般來講，反證法常用證明正面證明有困難，情況多或復雜，而逆否命題則比較淺顯的題目，問題的解決就變得相對容易。

反證法的證題可以簡要的概括為“否定→得出矛盾→否定”。即從否定結論開始，得出矛頓，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是 “否定之否定”。如果結論的情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立。

2 適合用反證法的命題

2.1 正面證明有困難的命題

例.設α是有理數，x是無理數，證明：a+x是無理數.

反證：假設a+x是有理數，根據有理數對四則運算的封閉性知，（a+x）-a=x是有理數， 與題意矛盾. 故假設不成立， 原命題成立.

2.2 有關唯一性的命題

例2.若數列{an}收斂， 則它的極限唯一.

證明：設a，b都是an的極限.且a≠b.由極限的定義，對任意的ε>0，存在N，當n>N時，有|an-a|<ε，|an-b|<ε。則

0≤|a-b|=|a-an+an-b|≤|a-an|+|an-b|<2ε

由ε的任意性得a=b，從而得矛盾。

2.3 有關至多…， 至少… ，不可能…等的命題.

例3.（1）方程x3-3x+c在區間[0，1]內不可能有兩個不同的實根.（2）方程xn+px+q當n為偶數時至多有兩個不同的實根.

證明：（1）設f（x）=x3-3x+c，若方程x3-3x+c在區間[0，1]內有兩個不同的實根記為x1，x2。不妨設x1

2.4 有關””或恒…的命題

例4.[1]假設f在區間I上連續，對任意的有理數r∈I有f（r）=0則在I上f（x）=0.證明：若結論不成立，即至少存在一點x0∈I，滿足f（x0）≠0。由條件知f在x0點連續，即滿足 f（x ）=0≠f（x ）。現取一列有理數點列{xn}且 xn=x0，由歸結原則 f（xn）=0≠f（x0）這與f在x0點連續矛盾。

2.5 有關否定性的命題

例5[2]若f在有限區間（a，b）上可導但無界，證明：其導函數f'（x）在區間（a，b）上無界。證明：若f'（x）在區間（a，b）上有界，不妨設|f'（w）|≤M。固定c∈（a，b），對任意的x∈（a，b），則f（x）在[x，c]上滿足羅爾中值定理的條件，從而有至少存在ξ∈（x，c）使得f（x）-f（c）=f'（ξ）（c-x），由此得|f（x）|≤|f（c）|+|f'（ξ）（c-x）|≤|f（c）|+|M（b-a）|。

既得f（x）在區間（a，b）上有界，這與題設矛盾。

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]沐定夷，謝惠民.吉米多維奇數學分析習題集學習指引[M].北京：高等教育出版社，2012.