NiTi合金的相變-塑性統一本構模型與數值算法

李云飛， 陳 成， 曾祥國

(1.中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽 621999； 2.四川大學 建筑與環境學院，成都 610065)

NiTi形狀記憶合金(shape memory alloy，SMA)作為近年來發現的一種重要智能材料，因其具有形狀記憶效應、超彈性、高阻尼及耐腐蝕等特殊性能被應用于航空航天、生物醫學與電子設備等諸多工程領域[1-3]。形狀記憶效應與超彈性是NiTi合金宏觀層面上表現出的兩種最基本、最獨特的力學特性。形狀記憶效應即材料通過調節溫度可恢復由應力誘發的較大程度變形(約8%左右)；在較大溫度范圍經歷相對較高應變程度的加載然后卸載，材料經過遲滯回線恢復到初始形狀稱為超彈性。超彈性行為實質上是細觀層面上形狀記憶合金的熱彈性馬氏體在奧氏體與馬氏體相結構發生轉變(即相變)引起，溫度與應力均可以誘發形狀記憶合金的馬氏體相變。

作為材料性質研究的重要內容，近年來各國學者對NiTi合金開展了深入的理論與實驗研究并提出了多種本構模型。建立在試驗基礎上近似描述材料宏觀力學行為的唯象理論模型在近二十年內取得較大進展?；谧杂赡茯寗恿碚摻⒌腡anaka[4]，Liang[5]與Brinson[6]系列本構模型在形式上比較相似，主要區別在于采用了不同的馬氏體相變動力學模型。該系列本構模型形式簡單，避開了自由能等難以測量的參量，得到了廣泛的應用。Urbano等[7]假定了單變體馬氏體體積分數與多變體馬氏體體積分數2個內變量，構建了NiTi合金的本構模型。Byod[8]和Lagoudas[9]基于自由能與耗散勢概念提出了可以描述超彈性與形狀記憶效應的本構模型，該模型可以很好地描述應力誘發下的正、反方向的相變行為，但形式復雜計算量大，難以用于實際工程。Auricchi[9-12]以相變中馬氏體百分比含量和馬氏體百分比變化率作為兩個獨立的內變量發展了可描述超彈性的一維與三維本構關系，該模型宏觀材料參數易測量，便于與有限元法結合并嵌入ANSYS，ABAQUS等大型商用軟件中。

隨著科技發展，工程領域對NiTi合金在沖擊等嚴苛環境下的材料特性愈加關注。NiTi合金在經歷了母相彈性、馬氏體相變與馬氏體彈性階段后的塑性流動行為也需要重點研究。目前的本構模型主要關注材料的馬氏體相變與形狀記憶效應的描述，對于更高應力水平下的力學行為描述的研究還較少。本工作基于不可逆熱力學理論框架，確定了相變、塑性兩個內變量構建NiTi合金的宏觀唯象本構模型。通過實驗數據確定了本構模型參數，并采用半隱式應力積分方法將該模型進行了數值程序實現，為其實際工程應用奠定基礎。

1 本構模型構建

以不可逆熱力學理論框架為基礎構建本構關系首先要確定內外變量，然后是假設自由能函數(內、外變量的函數)[13]。本工作選用應變張量與溫度作為外變量，因NiTi合金變形過程存在兩個不可逆過程，假設2個內變量：表征相變行為的內變量ξ，表征塑性行為的內變量η。則單位質量的Helmholtz自由能函數可表示為：

(1)

在等溫條件下，由Clausius-Duhem不等式得到

(2)

(3)

根據(1)式，在等溫條件下可得

(4)

將式(3)～(4)代入Clausius-Duhem不等式改寫為

(5)

假定加載過程中彈性應變、相變應變與塑性應變相互獨立，要使(5)式恒成立須有：

(6)

(7)

(8)

以上為NiTi合金的本構框架，式(6)～(8)分別表征了彈性應力應變關系、相變演化規律與塑性演化規律。令Helmholtz自由能由彈性自由能Φe、相變自由能Φtr和塑性自由能Φp共同貢獻，即

Φ=Φe+Φtr+Φp

(9)

假設彈性自由能函數符合如下形式：

(10)

將式(9)～(10)代入式(6)中可得

(11)

顯然式(11)即為Hook定律，也可寫成

(12)

(13)

1.1 相變演化規律

(14)

同時假設勢函數Θ=Θ(σij,Α)，以及內變量演化方程：

(15)

(16)

將式(15)～(16)代入式(14)中可得

(17)

(18)

假設相變自由能函數的形式寫成：

(19)

類比經典Chaboche塑性本構模型[15]構造勢函數為：

(20)

(21)

(22)

n為馬氏體體積分數，定義其形式：

(23)

(24)

將式(19)～(24)代入式(15)，(16)與(18)中可得NiTi合金的相變演化規律為：

(25)

并設廣義力Aij的演化方程為:

(26)

式中：材料參數k1，k2的值可通過實驗數據測得。則式(22)～(26)為描述相變過程的演化方程。

1.2 塑性演化規律

(27)

假設勢函數Ω=Ω(σij,B)以及內變量演化方程:

(28)

(29)

將式(28)～(29)代入式(27)可得:

(30)

(31)

假設塑性自由能函數寫成：

(32)

類似地參照Chaboche本構模型構造勢函數

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

并且設廣義力Bij的演化方程為：

(38)

式中：k3，k4為材料參數。式(35)～(38)為描述塑性過程的演化方程。

2 數值算法與程序實現

通常對于復雜的演化方程和硬化法則，采用全隱式應力積分方法求解非彈性應變增量Δεin式非常困難的。因此本工作采用一種較為簡單的半隱式應力積分方法，即半隱式迭代法求解非彈性應變增量，在下一個增量步對其進行顯式更新。主要步驟如下：

(1)輸入應力初始值、應變增量、狀態變量初始值、時間步增量以及初始彈性剛度陣。

(2)假設應變增量全部為彈性應變，按彈性方法計算應力并得到等效應力，進行屈服條件判斷，若發生屈服則分別進入相應的相變或塑性迭代步驟；若不滿足屈服條件則進入相應的彈性階段(即母相彈性或馬氏體彈性段)。

(3)非彈性段(即相變或塑性段)的統一迭代過程，通過計算下一增量步的非彈性應變增量和新的等效非彈性應變增量值，進行迭代收斂性判斷進而更新所有的狀態變量。

(4)更新非彈性應變及其增量、彈性應變及其增量。廣義力和總應力等，進入下一加載步。

具體的NiTi合金本構模型實現流程示意圖如圖1所示。

NiTi合金本構模型實現流程中的步驟(3)涉及較復雜非彈性迭代過程，具體的數值算法如下所述：

(39)

(40)

對于相變過程：

(41a)

對于塑性過程：

(41b)

計算表征強化的狀態變量，相變與塑性過程略有不同。對于相變過程:

(42a)

對于塑性過程:

(42b)

更新彈性剛度矩陣，計算應力增量：

(43)

(44)

更新狀態變量與總應力:

(45)

(46)

根據應力張量與狀態變量，計算等效應力、屈服面方程:

(47)

(48)

根據Chaboche塑性本構模型對于率相關模型中塑性應變增量的求解形式，計算下一個迭代步的非彈性應變增量和等效非彈性應變增量:

(49)

(50)

對迭代收斂性的判斷條件

(51)

3 結果與討論

表1 NiTi合金本構模型相關材料參數Table 1 Constitutive parameters for NiTi alloy

根據上述的本構模型數值算法與表1的相關材料參數，通過數值程序計算得到NiTi合金在不同應變率下的應力-應變模擬結果，與實驗結果[15]對比如圖2(a)～(b)所示。

圖2 不同應變率下NiTi合金應力應變關系數值模擬與實驗對比Fig.2 Comparison between simulation data with experimental data of NiTi alloy under different strain rates (a)500 s-1; (b)1300 s-1; (c)1500 s-1; (d)2100 s-1

由圖2可知，NiTi合金的本構模型數值模擬結果與實驗數據吻合良好，驗證了本工作數值算法的合理性。在沖擊加載過程中，材料隨著載荷的增加先后經歷了母相彈性、馬氏體相變、馬氏體彈性及塑性屈服階段，所構建的本構模型在這四個階段均能夠較好地擬合，并且可以反映出材料在不同應變率下本構行為的差異，說明該本構模型與材料參數能較合理地預測材料的力學行為。

3 結論

(1)根據不可逆熱力學理論框架推導出了NiTi形狀記憶合金相變與塑性行為的統一本構模型。

(2)采用半隱式應力積分方法更新非彈性(相變或塑性)應變增量，將該本構模型通過Fortran語言進行了數值程序實現。

(3)對比模擬結果與實驗數據發現該模型可較好地擬合材料在加載過程中經歷的不同階段，并良好地反映了材料在不同應變率載荷下力學行為的差異。模型涉及的相關材料參數可較方便地通過實驗確定，為NiTi合金材料在實際工程應用奠定了基礎。

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