有界閉域上二元連續函數有界性的證明

羅華明+彭長文+鄭云+金開龍+楊景+楊珊

摘 要：閉區間上一元連續函數的有界性定理有多種證明方法，其中一種方法是利用閉區間套定理從反面去證明.受此啟發，本文主要利用閉域套定理來證明有界閉域上二元連續函數的有界性定理.

關鍵詞：二元連續函數；有界性定理；閉域套定理

一、 引言

在19世紀，連續函數的概念是人們探討的主要對象，波爾查諾、柯西和魏爾斯特拉斯等人給出了連續函數的定義。波爾查諾是第一個開始研究連續函數性質的數學家，也是第一個用極限概念給出函數在某個區間連續的恰當定義的。在柯西、波爾查諾、海涅等一大批數學家的研究下，連續函數的性質和與其相關的定理都已經形成了一個比較嚴謹的系統。一元連續函數有許多重要的性質，如：一元連續函數在閉區間上有界，并且存在最大值和最小值，以及一元連續函數在閉區間上是一致連續的。在引入二元函數的概念后，一元連續函數的相關性質也就理所當然地被平行推廣到二元連續函數上。目前，在國內也有許多的數學愛好者對連續函數的性質進行研究，如在文獻中，都有對一元和二元連續函數進行比較系統的研究，還有麗水學院數理學院胡亞紅老師在文獻中研究了閉區間上一元連續函數的有界性，鄂州職業大學計算機系姜愛國老師在文獻中對二元函數連續性進行了探討。

學完文獻《數學分析講義》下冊中的“多元函數的極限與連續”一章后，通常會提出這樣的問題：“文獻《數學分析講義》上冊中已經用閉區間套定理證明了閉區間上連續函數的有界性定理，那么我們是否可以用閉域套定理證明有界閉域上二元連續函數的有界性定理？”本文就這個問題進行研究，給出用閉域套定理直接證明有界閉域上二元連續函數的有界性定理的證明方法。

三、 討論與總結

上述用閉域套定理對有界閉域上二元連續函數的有界性定理進行證明，從一側面反映了此證明與用閉區間套定理證明閉區間上連續函數的有界性定理有異曲同工之妙，但值得注意的是：利用閉區間套定理證明閉區間上連續函數的有界性定理時，只需要將該閉區間不斷地二等分，就可以得到一列閉區間套；利用閉域套定理對閉域上二元連續函數的有界性定理進行證明時，我們應該將該閉域幾等分，如何去等分卻是個難題。

（1） 一般證明連續函數有界性的問題通常采用反證法；

（2） 當一個閉域不停地進行劃分時，不僅可以得到一個閉域套，還可以得到一閉域列{Dn}。

參考文獻：

[1]劉玉璉等.數學分析講義（第五版，上冊）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]華中師范大學數學系.數學分析（第三版，下冊）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]胡亞紅.用實數完備性證明閉區間上連續函數的有界性[J].麗水學院學報，2010，32（5）：8-10.

[4]姜愛國.二元函數連續的探討[J].鄂州大學學報，2011，18（2）：12-14.

作者簡介：

羅華明，彭長文，鄭云，金開龍，楊景，楊珊，貴州省貴陽市，貴州師范學院數學與計算機科學學院。endprint