圓錐曲線中的一類有關切線的問題

摘 要：新課程增加了導數的內容，給解析幾何增加了新穎的題型，圓錐曲線中與切線有關的問題在高考中也頻繁出現，對圓錐曲線的一類切線問題進行探索，體現圓錐曲線的統一性和和諧性。

關鍵詞：圓錐曲線；切線；數學

在高中數學中，解析幾何所涉及的數學知識多，數學思想豐富，計算量大而成為高考得分率偏低的主要原因。如何對解析幾何的學習形成有效的措施，是高三數學復習的師生不可回避的問題。新課程增加了導數的內容，給解析幾何增加了新穎的題型，圓錐曲線中與切線有關的問題在高考中也頻繁出現。本文主要對高考中出現的有關圓錐曲線的切線的問題探討本人的一點認識。

一、 知識回顧

（一） 過圓錐曲線上一點的切線方程

1. 過圓x2+y2=r2上一點M（x0，y0）的切線方程：

xx0+yy0=r2

2. 設P（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1上的點，則過該點的切線方程為：

xx0a2+yy0b2=1

3. 設P（x0，y0）為雙曲線x2a2-y2b2=1上的點，則過該點的切線方程為：

xx0a2-yy0b2=1

4. 設P（x0，y0）為拋物線y2=2px上的點，則過該點的切線方程為：

yy0=p（x+x0）

（二） 圓錐曲線的切點弦方程

1. 設P（x0，y0）為圓x2+y2=r2外一點，則切點弦的方程為：

xx0+yy0=r2

2. 設P（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1外一點，過該點作橢圓的兩條切線，切點為A，B則弦AB的方程為：

xx0a2+yy0b2=1

3. 過P（x0，y0）為雙曲線x2a2-y2b2=1的兩條作兩條切線，則切點弦方程為：

xx0a2-yy0b2=1

4. 設P（x0，y0）為拋物線y2=2px開口外一點，則切點弦的方程為：

yy0=p（x+x0）

對切線方程和切點弦方程的推導可用隱函數求導或用直線與圓錐曲線的位置關系等方法推理，在此不再累述。

例1 過橢圓C：x24+y2=1的右準線l上任意一點M引橢圓C的兩條切線，切點為A、B.求證：直線AB恒過一定點。

【解】（1）設M-（434）（t∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），則AM的方程為x1x4+y1y=1

∵點M在MA上 ∴33x1+ty1=1① 同理可得33x2+ty2=1②

由①②知AB的方程為33x+ty=1，即x=3（1-ty）③

易知右焦點F（3，0）滿足③式，故AB恒過橢圓C的右焦點F（3，0）。

二、 類比推理

1. 已知拋物線y2=2py的焦點為F，A，B是拋物線上的兩動點，且AF=λFB（λ>0），過A，B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M，則FM⊥AB，并且點M在準線上。

2. 已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）右焦點為F2，A，B為橢圓的兩動點，且AF2=λF2B（λ>0），過A，B兩點分別作橢圓的切線，設其交點為M，則F2M⊥AB，并且點M在右準線上。

3. 已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>b>0）右焦點為F2，A，B為雙曲線的兩動點，且AF2=λF2B（λ>0），過A，B兩點分別作雙曲線右支的切線，設其交點為M，則F2M⊥AB，并且點M在右準線上。

由此，我們可以得出，過圓錐曲線的焦點F，任作一直線，與曲線交于AB兩點，曲線在這兩點處的切線的交點為M，則M在這焦點對應的準線上，且FM⊥AB。

作者簡介：

陳華，福建省南平市光澤二中。endprint