在柱面坐標系下三重積分計算的一種新方法

鄧進

【摘 要】三重積分計算的常規思路是將其轉化為累次積分，其中的關鍵是確定累次積分各自的積分上限和積分下限。本文運用數學中的類比思想，對直角坐標系下三重積分計算的經典投影法進行類比，研究柱面坐標下三重積分的計算，得到一種新的投影法。本文結果將完善柱面坐標下三重積分計算的投影法。

【關鍵詞】三重積分；累次積分；積分上限；積分下限；投影法

中圖分類號： O172.2 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）30-0170-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.30.074

A New Method for Triple Integral Calculation in Cylindrical Coordinates

DENG Jin

（School of science，Hunan Institute of Engineering，Xiangtan Hunan 411104，China）

【Abstract】The conventional way of triple integral calculation is to transform it into successive integrals，and the key is to determine the upper and lower bounds of these integrals respectively.In this paper，the classical projection method for calculating triple integral in rectangular coordinates is analogized by using the analogy idea in mathematics，and the calculation of triple integral in cylindrical coordinate system is studied，and a new projection method is obtained.The results of this paper will make the projection method for calculating the triple integral in cylindrical coordinates more complete.

【Key words】Triple integral；Upper bound of integration；Lower bound of integration；Projection method

0 引言

多元積分學是高等數學的主要內容之一，而三重積分的計算是其重點和難點。教學實踐中，從教學反饋和考試情況來看，學生往往反映難度很大，特別是在將三重積分轉化為累次積分時，很難順利地確定累次積分的積分上限和積分下限；主要原因在于沒有真正理解教材中的投影法和截面法。而一般教材和已有文獻多是簡單地介紹在直角坐標下三重積分的投影法和截面法，[2]介紹了在柱面坐標下的一個投影法，即將積分區域投影到極坐標面上，將三重積分轉化為先一后二的積分，再將外層的二重積分轉化為二次積分，最終實現將三重積分轉化為三次積分。然而，柱面坐標下三重積分的投影法還不夠完善。

本文首先給出柱面坐標中的一種新的投影的概念，繼而通過運用數學中的類比思想，對直角坐標系下三重積分的經典投影法進行類比，研究柱面坐標下三重積分的計算，得到柱面坐標下將三重積分轉化為三次積分的一種新的投影法，即首先將積分區域投影到圓柱面上，把三重積分轉化為先一后二的積分，再將外層的二重積分轉化為二次積分，最終實現將三重積分轉化為三次積分。

1 柱面坐標系[1，2]

為完整起見，首先簡單介紹柱面坐標系。設M（x，y，z）是空間中一點，過點M作直線和坐標面xOy垂直相交于點M'，稱點M'為點M在坐標面xOy上的投影；設點M'的極坐標是（r，？茲），稱有序三元數組（r，z）為點M的柱面坐標（如圖1所示）。

一般假定r，？茲，z的變化范圍分別為：

柱面坐標系中的三個坐標面分別為：以z軸為中心軸的圓柱面（r為常數），過z軸的半平面（？茲為常數），與xOy面平行的平面（z為常數）.

由圖1易知，點M的直角坐標（x，y，z）和柱面坐標（r，？茲，z）有如下關系：

不難知道，柱面坐標下三重積分的體積微元dv=rdrd？茲dz，因此可將一般形式的三重積分轉化為柱面坐標下的三重積分，即：

2 投影法

[2]介紹了在柱面坐標下的一個投影法，即將積分區域投影到極坐標面上，將三重積分轉化為先一后二的積分，再將外層的二重積分轉化為二次積分，最終實現將三重積分轉化為三次積分。

下面介紹柱面坐標下將三重積分轉化為三次積分的一種新的投影法。首先給出一種新的投影概念。

定義 設r=r0>0為固定的圓柱面，過點M作直線垂直z軸于點O'，射線O'M交圓柱面r=r0于點M'，稱點M'為點M在圓柱面r=r0上的投影（如圖2所示）。

圖2 點M在圓柱面r=r0上的投影點M'示意圖

將空間區域？贅內任一點均投影到圓柱面r=r0上，就得到空間區域？贅在圓柱面r=r0上的投影區域D（？茲，z）。

一般而言，選取圓柱面r=1為所需要的固定圓柱面。

由三重積分的物理意義可知， 是密度為連續函數f（rcos？茲，rsin？茲，z）r的空間立體？贅（r，？茲，z）的質量M。設從z軸上的點為起點并且和z軸垂直的射線與空間區域？贅的邊界曲面相交于不超過兩點（位于？贅的邊界上的直線段除外），把空間區域？贅按前述的定義投影到圓柱面r=1上，得到圓柱面上的一個區域D（？茲，z），過區域D（？茲，z）內任一點P（ ）作和z軸垂直相交于O'的直線，射線O'P和空間區域？贅的邊界曲面相交于兩點，和z軸的距離較小的點P1的坐標為P （r （，z）z），和z軸的距離較大的點P2的坐標為P2（r2（z），）（如圖3及圖4所示），從而空間區域表示為：

此時，區域？贅的邊界面上有兩個曲面r=r （，z），r=r （ ），此外，還有可能有一部分的邊界面位于下面這類曲面上：過投影區域D的邊界曲線上的點Q，作直線和z軸垂直相交于Q'，所有這類直線Q'Q形成了一個曲面。如圖3和圖4所示的兩種情形。

空間立體？贅的質量可以看作密度不均勻的柱面薄片D（z）的質量，求出面密度？籽（z）后就可以進而求出空間立體？贅的質量。對區域D（z）內的任一點（z）， 從而

這樣，將柱面坐標下的三重積分轉化為先一后二的積分：

進一步，可將外層的二重積分轉化為二次積分。如果投影區域D（ ）的形式為，

則

從而，把三重積分轉化為先對r，再對z，最后對？茲的三次積分。

如果投影區域D（ ）的形式為

則

從而，把三重積分轉化為先對r，再對？茲，最后對z的三次積分。

特別地，如果積分區域為：

則三重積分可轉化為：

或者：

綜上所述，柱面坐標下三重積分的投影法可以總結為一句口訣，即“一投二交三積分”。

在上面的討論中，假定了從z軸上的點為起點并且和z軸垂直的射線與空間區域？贅的邊界曲面相交于不超過兩點（位于？贅的邊界上的直線段除外）。對于更一般情形，利用三重積分關于積分區域的可加性，只需將？贅分為滿足上述條件的若干個區域的和，對各個區域按上述方法將三重積分轉化為三次積分后相加即可。在將二重積分轉化為二次積分時，假定了投影區域為圓柱面上的凸區域，對于更一般的情形，可以將投影區域分為若干個凸區域的和，然后利用二重積分關于積分區域的可加性，分別將各個積分區域上的二重積分轉化為二次積分后相加即可。

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系編.高等數學（第七版下冊）.北京：高等教育出版社，2014.

[2]吳贛昌主編.高等數學（理工類第四版下冊）.北京：中國人民大學出版社，2011.