基于面積模型的乘法運算再認識

張勛

摘 要：一般認為，乘法運算是先計算出積計數單位的個數，再結合積的計數單位來確定最終的結果。借助面積模型，從根據因數的計數單位構建出新的積的計數單位，進而由積的計數單位的個數來確定結果的角度實現對乘法運算的再認識。

關鍵詞：面積模型；乘法運算；計數單位

一、由小數乘法引發的對乘法運算特殊性的思考

從新課標人教版小學數學教材涉及的小數運算的內容來看，小數加法、減法、除法都一定有小數點對齊的現象，而只有小數乘法小數點不一定是對齊的。這種差異是否使小數乘法的運算具有某種特殊性呢？通過基于計數單位概念的思考，我有了一些想法。

小數加法、減法和除法小數點嚴格對齊，說明在運算發生前結果的計數單位已經被確定，運算的過程實際上是在算計數單位的個數。比如2.5+1.38轉化成2.50+1.38算得的結果的計數單位一定是多少個0.01，減法亦是這樣，而例如26.4÷4這樣的除法運算（包括像2.64÷0.4轉化而來的情況），商的計數單位也因和被除數的計數單位一致而被提前鎖定，即便是需要補0繼續除，也是因為被除法的計數單位變小才導致商的計數單位相應變小。而小數乘法無法完全借助小數點對齊的現象來提前預知積的計數單位。所以教材中引導學生將其轉化成整數來算實際上是先算出計數單位的個數，從積的變化規律的角度通過還原來確定結果，實則確定結果的計數單位。都是計數單位和計數單位的個數“兩步走”，但小數乘法中兩步走的順序與其他三則運算有本質的不同。

二、借助面積模型，實現“兩步走”在四則上的統一

那么小數乘法的運算過程能否在某些抓手的輔助下實現先計數單位后計數單位的個數的“乾坤大挪移”，從而與其他三則運算形成統一呢？此時，運用面積模型直觀理解問題的數形結合思想派上了用場。下面僅以0.21×1.5為例來進行說明，我們借助面積模型來更加直觀理解問題：

在圖中，每個小長方形的長是0.01，對應0.21的計數單位，寬是0.1，對應1.5的計數單位。一排21塊對應第一個因數0.21計數單位的個數，總共的15排則對應第二個因數1.5的計數單位的個數，這樣一來，全圖的面積就可以表示0.21×1.5的結果。而一小塊的面積可以表示0.01×0.1，也就是上述提到的構建出的積的計數單位，21×15則可以表示計數單位的個數。從而全圖面積可以被理解為315塊面積為0.001的小長方形的面積之和，也就是0.315。這樣一來，將計數單位與面積單位進行關聯，小數乘法運算過程先計數單位后計數單位的個數的“兩步走”于情于理就都說得通了。

三、由小數乘法推廣到整個乘法運算

（一）順藤摸瓜 推廣到整數乘法部分

其實上述理論體系在整數乘法中也是成立的，例如38×25得到的結果950可以被理解為積的計數單位的個數，只不過這里的計數單位是1，對應面積模型中的每一小塊是邊長為1的小正方形的面積。因一排38塊和25排得到的總面積就是950個1，所以結果就是950。此外，整數乘法兩個因數的計數單位都是1導致右側對齊同時實現了隱藏在個位右下角的小數點對齊，但這僅僅是一種巧合，與上面小數乘法并不矛盾。

（二）拓展延伸 推廣到整數乘法部分

除了整數乘法和小數乘法，分數乘法也是乘法運算的重要組成部分。那么上述借助面積模型理解乘法運算的套路在分數乘法中是否還站得住腳呢？答案是肯定的。

與整數和小數對應，分數也有自己的計數單位，我們稱之為分數單位，比如和的分數單位分別是和，分數單位的個數分別是5和4。那么·同樣可以還原到上面提到的面積模型中去。在這里每一小塊的長是、寬是，一排塊數和排數分別是5和4。而被構建出的積的計數單位是·，也就是。同時計數單位的個數也就是塊數由5×4來確定，也就是20塊。相信順著這條思維路徑走下去，學生在學習分數乘法運算時對于·=的計算過程會多一種理解。

那么對于更為常規的算法，也就是將·通過交叉約分簡化為·又該如何理解呢？其實在這個過程中面積模型并沒有發生變化，只是細化程度降低了，也就是每一塊的面變大了，從長是、寬是變為長和寬都是。同時塊數相應減少了，從一排5塊共4排減少到一排1塊共2排。

四、從二維到三維，從面積到體積，從相乘到連乘

設想一下，如果將面積模型輔助理解乘法運算的理論體系從二維推廣到三維，會發生什么呢？首先就模型本身來說會從面積模型上升到體積模型，伴隨著維度增加一個，參與運算的數的個數也會從兩個增為三個，那么無論是整數、小數還是分數或是它們之間的交互相乘，任何一個連乘的乘法運算都可以在相應的體積模型中找到屬于自己一一對應的直觀表象。

五、小結與展望

借助面積模型來重新認識并理解乘法運算，有利于學生站在制高點俯瞰全局，從整體上更好地把握運算的本質，實現完全同構的“兩步走”。同時運算過程算計數單位的個數的事實向我們指出，用統一的標準度量客觀世界是計算教學承載的對發展學生核心素養的重要任務。

參考文獻：

[1]中華人民共合作教育部.義務教育數學課程標準（2011版）[S].endprint