高等代數在數學分析極值問題中的應用

劉蕓??

摘要：本文以高等代數中的二次型與特征值來分析和解決多元函數的極值問題，揭示高等代數與數學分析這兩門基礎的數學學科之間的聯系，來為問題的解決提供一定的參考和借鑒。

關鍵詞：高等代數；數學分析；極值問題

一、 引言

線性代數中的行列式和矩陣：行列式代表一個數，而矩陣僅是一些數的有順序的擺法。利用矩陣能夠把線性方程組中的系數組成向量空間中的向量，這樣能夠徹底解決一個多元線性方程組的解的情況，以及不同解之間的關系等理論問題。下文就多元函數的極值問題展開討論，分析高等代數在數學分析極值問題的應用。

二、 相關定理

1. 實對稱矩陣A是正定，當且僅當矩陣A的順序主子式全大于零。

2. 實對稱矩陣A是負定，當且僅當矩陣A的順序主子式負正相間，即

（-1）ia11a12…a1i

a21a22…a2i

…………

ai1ai2…aii>0，i=1，2，…，n。

（一） 利用二次型求多元函數的極值

對于一個實值多元函數f（x1，x2，…，xn），如果函數f的二階偏導數存在，那么矩陣

2fx212fx1x2…2fx1xn

2fx2x12fx22…2fx2xn

…………

2fxnx12fxnx2…2fx2n

稱為黑塞矩陣，記作H（f）。

定理：設y=f（x1，x2，…，xn）是在P0=（x01，x02，…，x0n）點處有連續的二階偏導數的函數，并且gradf（p0），記f在點P0處的黑塞矩陣為Hf（p0）。

（1）當矩陣H f（p0）是正（負）定矩陣，y=f（x1，x2，…，xn） 在P0處取得極小（大）值；

（2）當矩陣H f（p0）是不定矩陣，y=f（x1，x2，…，xn） 在P0處沒有極值。

證明：由f（x1，x2，…，xn）處在P0處的泰勒公式有：

f（x1，x2，…，xn）=f（p0）+gradf（p0）ΔxT·Hf（p0）·Δx+o（（|Δx|）2）。

其中Δx=x1-x01………xn—x0n，因為gradf（p0）=0，所以f（x1，x2，…，xn）-f（p0）=121ΔxT·Hf（p0）·Δx+o（|Δx|2）。

所以，如果矩陣Hf（p0）是負定矩陣，二次型ΔxT·Hf（p0）Δx是負定二次型，于是在|Δx|很小時，y=f（x1，x2，…，xn）在點p0處取極大值。

而如果Hf（p0）是不定矩陣時，y=f（x1，x2，…，xn）在點p0處沒有極值。

（二） 利用特征值求多元函數的極值

定理：設A=（aij）為n階實對稱方陣，證明多元函數f（x）=∑ni=1∑nj=iaijxixj在單位球面∑ni=1a2i上的最大、小值分別是矩陣A的最大、小特征值。其中aij=aij∈R（i，j=1，2，…，n）。

分析：本命題可轉化為高等代數中的二次型f（x1，x2，…，xn）=X′AX在X′X=1條件下的最大（小）值問題，然后利用特征值理論來解決。

解：令X=x1x2…x3，A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

an1an2…ann，因為aij=aij∈R，所以A為實對稱矩陣，則f（x1，x2，…，xn）=X′AX是一實二次型。

設λ1，λ2，…，λn是A的特征根，且λ1≤λ2≤…≤λn，由于矩陣A實對稱，則存在正交陣T使T′AT=10…0

02…0

…………

00…n，作正交變換X=TY，可有

f（x）=λ1y21+…+λ1y2n，那么對于x∈R均有λ1X′X≤X′AX≤λnX′X，特別地當X′X=1時，有λ1≤X′AX≤λn，所以f（x）在∑ni=1x2i=1上的最大值小于或等于λn，最小值大于或等于λ1.

設ɑ1，ɑ2分別是屬于λ1，λn的特征向量，則Aɑ1=λ1ɑ1，Aɑn=λ1ɑn，ɑ1≠0，ɑn≠0，那么有ɑ1Aɑ1=ɑ1（λ1ɑ1）=λ1 ɑ′1ɑ1，則λ1=a′1Aɑ1α′1a1，同理可得λn=a′1Aɑnα′1an，所以：f（x）在單位球面上的最大、小值分別是矩陣A的最大、小特征值。

三、 結束語

希望通過不斷地探究數學分析和高等代數這兩門課程之間的聯系，促進相互之間解題方法的融會貫通，為高等代數和數學分析的學習者和研究者提供更可靠的參考。

參考文獻：

[1] 曠雨陽.高等代數在數學分析極值問題中的應用[J].安順學院學報，2016，（06）：113-114+133.

作者簡介：劉蕓，貴州省貴陽市，貴陽學院。endprint