以一道數學復習題為例談“一題多解”

顧昀??

摘要：“一題多解”作為變式教學最基本的拓展形式，近年來，越來越受到廣大一線教師的關注。本文闡述了“一題多解”的基本意義，以一道數學復習題為范例，簡單分析了“一題多解”的實施困難和實際教學中的學習反思。

關鍵詞：一題多解；思維；能力

弗萊登特爾獎得主梁貫成把教師描述為對學生學習最直接的影響者，教師在課堂中所采用的教學策略會造成學生學習效果的改變。實踐證明，教師在課堂中使用“一題多解”的教學策略，可以激勵學生從多角度思考題意，多側面理解知識，利用發散思維嘗試不同解法，這有助于學生知識體系的建構，并且鍛煉了學生的實踐能力和創造能力。

一、 “一題多解”的基本意義

“一題多解”是傳統變式教學的基本拓展形式，是最受教師關注的一種課堂教學策略。變式是教學方法之一，它從不同方面、不同角度或不同情況來說明某一事物，進而概括出事物的一般屬性。“一題多解”以原題為中心，啟發和引導學生從各個核心方面對題目進行逐層分析，從不同角度、不同思路，運用不同的方法和不同的運算過程，解答同一道數學問題，它屬于解題的策略問題。

二、 “一題多解”的范例解析

高中復習階段，教師若能靈活使用“一題多解”的教學策略，將數學知識“打包”，幫助學生在模塊化的專題復習中建立起新舊知識的聯系，對鍛煉學生思維十分有利。下面，來看一個二輪復習中“一題多解”的范例：

如圖，已知直線x-2y+2=0經過橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點S是橢圓C上的點，直線AS，BS與直線l：x=103分別交于M，N兩點。

（1） 求橢圓C的方程；

（2） 當點S落在點D時，求線段MN的長度；

（3） 當點S是橢圓C上位于x軸上方的動點時，求線段MN的長度的最小值。

[解析]易得：（1）x24+y2=1（2）|MN|=83--23=103

（3） 這一問的解題關鍵是找到直線AS、BS的斜率關系：

解法一：固定直線

直線AS的斜率k顯然存在，故可設kAS=k，

由y=k（x+2）x24+y2=1得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，

設S（x1，y1）則（-2）·x1=16k2-41+4k2得x1=2-8k21+4k2，從而y1=4k1+4k2，

即S2-8k21+4k2，4k1+4k2又B（2，0），

∴kBS=4k1+4k2-02-8k21+4k2-2=-14k。

解法二：固定點S

設點S（x0，y0），直線AS、BS的斜率顯然都存在，則kAS·kBS=y0x0+2·y0x0-2=y20x20-4，

將點S（x0，y0）代入橢圓方程得x204+y20=1，即x20-4=-4y20，

故代回上式可得kAS·kBS=y20x20-4=y20-4y20=-14。

解法三：固定點M

顯然點M在第一象限，設M（103，t），（t>0）

又A（-2，0），故kAS=t-0103-（-2）=316t

同解法一，聯立方程組y=316t（x+2）x24+y2=1得kBS=-43t，則kAS·kBS=3t16·-43t=-14。

接下來，就可以統一步驟，完成解題：

聯立方程組

y=-14k（x-2）x=103得x=103∴N103，13k，

y=13k

故|MN|=16k3+13k，又k>0，∴|MN|=16k3+13k≥216k3·13k=83，

當且僅當16k3=13k，即k=14時等號成立，∴k=14時，線段MN的長度取最小值83。

在本例中，解答第（3）小問時會出現不同的解法，可以選擇直線或是不同的點來尋找目標關系kAS·kBS=-14。“一題多解”的思維活動過程向學生滲透著求變、求異的創新精神，有利于學生創新意識的提高。

三、 “一題多解”的學習反思

最近20多年，變式教學研究得到眾多數學教育學者的重視。但在實際教學中，“一題多解”的實施還存在許多的困難，如：教學時間和教學內容的沖突，對教師解題能力以及學生適應能力的考驗等。

由于高中數學知識點之間銜接比較差，我們往往都是每一個知識點進行單獨的專題復習。此時，如果能適時適度的引入“一題多解”的策略教學，就可以增加學生縱向知識的聯系，擴展知識廣度，幫助學生將分散的知識點整理成塊，這在很大程度上提高學生的學習效率。

參考文獻：

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[2] 王青梅，趙革.國外案例教學法研究綜述[J].寧波大學學報（教育科學版），2009，31，（3）：7-11.

作者簡介：顧昀，江蘇省蘇州市，蘇州市太湖旅游中等專業學校。endprint