淺談波導(dǎo)的幾何結(jié)構(gòu)與導(dǎo)行波速的關(guān)系

作者/陸羽翃，南京郵電大學(xué)

1.從光線的幾何路徑角度

我們先定義光在某一段波導(dǎo)中的傳播時(shí)間:

式中，Qm為光線在該波導(dǎo)中的起點(diǎn)位置，Qn為光線在該波導(dǎo)中的終點(diǎn)位置，為光路在該波導(dǎo)中的傳輸路徑幾何長(zhǎng)度；c為光速。

則光波在該波導(dǎo)中的等效波速:

我們考慮兩種形狀的波導(dǎo)，一種是曲線型波導(dǎo)，一種是直線型波導(dǎo)，分別如圖1和圖2所示。

圖1 曲線型波導(dǎo)中的光線

我們知道，對(duì)于曲線型波導(dǎo)中的任何一路入射光，無(wú)論其入射位置、入射角度，總會(huì)在波導(dǎo)兩個(gè)內(nèi)表面經(jīng)歷若干次全發(fā)射以進(jìn)行傳輸，故截取該曲線形波導(dǎo)中傳輸光線的一段，如圖一所示。其中1A前的虛線表示只是截取整個(gè)光路中從1A到A11的一段。故根據(jù)以上定義，光在該段曲線型波導(dǎo)中的傳輸時(shí)間：

則光在該曲線型波導(dǎo)中的等效波速：

圖2 直線型波導(dǎo)中的光線

現(xiàn)在證明,圖1中，有：

等五個(gè)三角形，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，容易得到：

由(7)得：

這就證明了(6)式，繼而說(shuō)明了：

即曲線型波導(dǎo)中的等效波速小于直線型波導(dǎo)中的等效波速，其物理原因是由于曲線型波導(dǎo)中光線的全反射，使得光的傳播路徑長(zhǎng)度較直線型波導(dǎo)中的長(zhǎng)。

2.從電磁場(chǎng)理論的角度

設(shè)波導(dǎo)軸線沿z方向，則沿z方向，導(dǎo)行電磁波的電場(chǎng)分量和磁場(chǎng)分量可以表示為：

γ為傳播常數(shù)，描述電磁波的傳播特性。

將式(9)帶入齊次波動(dòng)方程，則其電場(chǎng)分量可以表示為

2.營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)缺乏。當(dāng)日糧缺鈣或鈣磷比例不當(dāng)，日照不足或缺乏運(yùn)動(dòng)，維生素源不能轉(zhuǎn)變成維生素時(shí)均可導(dǎo)致血鈣濃度降低，胃腸蠕動(dòng)減弱、胃液分泌量下降、食欲下降和消化障礙。

把對(duì)應(yīng)于截止頻率 fc的（自由空間）波長(zhǎng)稱截止波長(zhǎng),由波導(dǎo)的本征值kc決定。

v為真空中的波速，亦可理解為在無(wú)限大媒質(zhì)中波的相速度。

即我們得到了波導(dǎo)中的波速 vwaveguide與真空無(wú)限大媒質(zhì)中的波速v之間的關(guān)系，二者截止頻率 fc與導(dǎo)波頻率 f的比值相聯(lián)系，而如式(11)所示，且波導(dǎo)的本征值kc與波導(dǎo)的幾何形狀和尺寸大小有關(guān)，故我們得到結(jié)論，即波導(dǎo)中的波速 vwaveguide與波導(dǎo)的幾何形狀和尺寸大小有關(guān)。

3.從波導(dǎo)材料的結(jié)構(gòu)安排角度

波導(dǎo)中的波速 vwaveguide=λf， f為導(dǎo)波頻率。參考一些研究固體波導(dǎo)層結(jié)構(gòu)與導(dǎo)波頻散特性關(guān)系的文章，我們知道，頻散是導(dǎo)波的一個(gè)重要特性，其頻散關(guān)系與波導(dǎo)層的速度結(jié)構(gòu)，波導(dǎo)層厚度等幾何參量密切相關(guān)。個(gè)人認(rèn)為，固體波導(dǎo)中導(dǎo)行波傳播的一種機(jī)理就是通過(guò)共振的方式。不同材料的晶格排列決定其固有頻率 finherent，當(dāng)一列導(dǎo)行波的頻率f與 finherent接近時(shí)，晶格振動(dòng)較為劇烈，進(jìn)而晶格間的相互作用將此導(dǎo)行波傳播出去。而波導(dǎo)中不同材料的幾何結(jié)構(gòu)安排方式也決定了在特定區(qū)域某一特定頻率 f的導(dǎo)行波的衰減程度（可以將衰減理解為受阻礙程度，受阻礙程度大，頻散劇烈），進(jìn)而決定在這一特定區(qū)域內(nèi)的波速。

本質(zhì)上這一角度也可以歸結(jié)為材料對(duì)波速的影響。波導(dǎo)在現(xiàn)實(shí)中的一個(gè)具體體現(xiàn)就是地震波的傳播。在地下地層結(jié)構(gòu)中，通常存在這樣一系列特殊的地層，其縱波速度、介質(zhì)密度與圍巖相比相對(duì)較低，因此其與圍巖的分界面是一個(gè)較強(qiáng)的反射界面。如果這時(shí)有一個(gè)震源在該低速層中激發(fā)地震波，那么振動(dòng)能量就在其與圍巖邊界處產(chǎn)生來(lái)回多次全反射，使振動(dòng)的相當(dāng)一部分能量被禁錮在低速層內(nèi)，并且產(chǎn)生相長(zhǎng)干涉，形成一類特殊的沿低速層傳播的干涉波，進(jìn)而取得較大的能量。我們稱這樣的低速層為波導(dǎo)層，沿著波導(dǎo)層傳播的波叫做導(dǎo)行波，在這里就是地震波。

4.結(jié)語(yǔ)

影響導(dǎo)行波速的原因是多方面的，除了受波導(dǎo)幾何結(jié)構(gòu)的影響，也受到波導(dǎo)材料屬性的影響。例如，我們知道，折射率是波長(zhǎng)的函數(shù)，且若材料是各向異性的，在一束光線的不同偏振模式下也會(huì)有不同的傳播速度，這也是形成偏振模色散的基本原理。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，我們要善于發(fā)現(xiàn)物理現(xiàn)象背后的原因，才能做到知其然且知其所以然。

* [1]M.伯恩，E.沃耳夫.楊葭蓀等譯.光學(xué)原理[M].北京：電子工業(yè)出版社.2005

* [2]梁銓延，孔憲炎.光學(xué)[M].廣州：廣東高等教育出版社，1980

* [3]胡鴻璋，凌世德.應(yīng)用光學(xué)原理[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1993

* [4]鐘錫華.現(xiàn)代光學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2003