一種改進的頻偏估計方法及應用

劉 凱，周淵平

(四川大學 電子信息學院，四川 成都 610000)

0 引言

無線接收機時間定位的方式一般可以分為兩類，第一類是利用訓練序列進行延遲自相關以鎖定峰值位置，進而捕獲時間偏移量。早期的諸多文獻已經對此類算法進行了相當深入的探索[1-2]，其缺陷在于：自相關運算所產生的相關峰并不是十分尖銳，特別是當傳輸環境極其惡劣(如衰落嚴重或信噪比很低)時，很難準確獲取時間的起始位置。第二類算法是滑動互相關運算，此方法目標函數的相關峰十分尖銳，易于實現時間的同步，其性能明顯優于第一類算法，但是卻是以計算復雜度偏高為代價的。文獻[3]指出，基于互相關運算的方法有一個致命的缺陷，那就是對于頻率偏移十分敏感。

頻偏估計也有很多經典的算法，最為直接的方法就是利用FFT運算實現頻率偏移的跟蹤，文獻[4-6]從不同的方面闡述了這種方法。此外，關于頻偏估計問題，文獻[7]設計了一種時頻聯合的算法，它用一種簡單的復數訓練序列，在時域估算出小數頻偏，在頻域估算出整數頻偏。基于FFT的各種算法都有一個缺陷——運算量太大，為了快速實現載波同步，文獻[8]通過相位折疊的方法使接收信號的頻偏具有周期性規律，實現了快速的載波同步，但是這種方法精度并不高。文獻[3]構造了一種特殊的CAZAC訓練序列，利用該序列不僅可以實現時間上的同步，同時也能進行載波頻率偏移的估計。本文主要工作在于補充并改進文獻[3]所述算法，為敘述簡潔起見，以“原文”代指文獻[3]。原文算法之精髓在于，上述特殊的訓練序列會隨著頻偏產生相應的循環移位，而在接收端通過滑動互相關運算能捕獲循環移位的偏移量，將頻偏巧妙地轉換成了序列在位置上的偏移。

1 頻率偏移對基于互相關的時間同步性能的影響

基于互相關的時間同步形式，是將包含訓練序列c(k)的接收信號序列r(m)與接收機本地序列c(k)做相關運算：

(1)

r(m)=c(m-τ)ej2πnω+n(m)

(2)

式中，n(m)為加性噪聲。將式(2)代入式(1)得：

(3)

式中假設c(k)c*(k)=1。顯然，頻率偏移ω將會破壞接收信號中的訓練序列與本地序列之間的相關性，削弱相關峰。

圖1所示為頻偏對式(3)相關峰|R(τ)|的影響，其中相關器長度為127，未考慮噪聲因素。

圖1 頻偏對相關峰值的影響

2 算法基本思想

原文構建了一種長度為L的CAZAC序列：c1=[c1(0)，c1(1)，… ，c1(L-1)]，其中：

(4)

考慮歸一化頻偏fdTs,這里Ts為采樣間隔，fd為頻率差值，令:ω=fdTs=(θ+ε)/L，θ∈Z，ε∈[-0.5，+0.5]。其中，θ稱為整數頻偏，ε稱為小數頻偏。將接收端帶有頻偏的離散基帶復數信號表示為：

r(k)=c1(k)exp(j2πωk)=

(5)

將式(4)中c1(k)進行循環移位得：

(6)

考察式(6)最后一個因子exp(jπ(L-1)θ2/L)，由于θ2是整數，因此有：

(7)

忽略正負符號上的差異以及式(5)中ε帶來的影響，則:

r(k)=c1(k-θ)

(8)

圖2 整數頻偏對訓練序列的影響

考慮情況1，在接收端將收到的信號與本地序列c1進行滑動互相關，目標函數：

(9)

式中，r(m)=[r(m)，r(m+1)，…，r(m+L-1)]，分母的作用是對能量進行歸一化。式(9)即可檢索出c1的起始位置m1，顯然考慮時間延遲量有：

m1=τ1+θ

(10)

用同樣的方法即可檢索出c2的起始位置m2，依然考慮時間延遲量有：

m2=τ2+L-θ

(11)

由式(10)或式(11)得

(12)

或

(13)

另一方面，聯立式(10)和式(11)亦可以求出時間延遲量τ1、τ2，由于訓練序列本身就是由重復的序列組成的，那么就可以用延遲自相關求幅角的方式確定ε：

(14)

最終由θ和ε求出載波頻偏ω。據此可以實現對含有頻偏的接收信號進行補償。考慮到篇幅限制，此處不再贅述。

3 分析研究與改進

3.1 擴大頻偏估計范圍

原文指明此算法對于θ的估測范圍是[-L/4+1,L/4-1]，而本文經過論證分析，將估測范圍推廣至[-L/2+1,L/2-1]。

從圖2中情況1、2可得，當θ為正整數時，

Δm=m2-m1=3L-2θ

(15)

當θ為負整數時，

Δ′m=m2-m1=L-2θ

(16)

實際應用中在接收端并不會事先知道θ的正負情況，因此無法直接利用式(12)或式(13)求解θ。一般地，只能利用兩個相關峰的差值Δm，基于這個原因，在實際應用中就必須保證圖2中兩種情況下Δm的值域是不同的，即考慮通過Δm的范圍來確定頻偏的正負情況。原文提到θ∈[-L/4+1,L/4-1],則由式(15)、(16)得：

2.5L<Δm<3L，θ>0

(17)

或

L<Δ′m<1.5L,θ<0

(18)

本文進一步分析了上述兩種情形，發現只要保證Δm>Δ′m就能滿足互斥條件，綜合式(15)、(16)，當滿足：

3L-2|θ|>L+2|θ|

即：

(19)

將θ∈[-L/2+1,L/2-1]代入式(15)、(16)中，得θ為正時，

2L<Δm<3L

(20)

而θ為負時，

L<Δ′m<2L

(21)

結論：當θ∈[-L/2+1,L/2-1]時，依然可以通過Δm的值域判定θ的正負情況，結合式(12)、(13)可求解出θ值。

3.2 考慮θ=0的特殊情況

原文雖指出θ∈[-L/4+1,L/4-1]已包含θ=0的特殊情況，但是并未詳細分析該情況下如何利用相關峰位置求解出θ。本文研究發現，當θ=0時，訓練序列的相關運算會產生4個相關峰，位置依次排列在τ1、τ1+L、τ2、τ2+L處。原文指出在檢索出m1之后應在(m1+0.5L，m1+3.5L)范圍內檢索m2，此時若以第一個相關峰的位置作為m2，則有：

Δm=m2-m1=τ2-τ1=2L

(22)

式(22)表明在進行算法實現時應當考慮Δm=2L的特殊情況，一旦出現就可以鎖定θ=0。

3.3 根據給定誤差范圍選取訓練序列周期L

(23)

Δf≤λ

(24)

此處考慮最壞的一種情形，即當fdTs對應的θ理論值并不是整數時，假設此時θ=k+1/2，k是整數。根據式(12)或(13)求出的θ值將可能是k，也可能是k+1，這種情形可以認為誤差最大，且誤差Δf=1/(2TsL)。于是：

即：

(25)

式(25)指出了實際應用中為滿足誤差精度要求條件下的訓練序列的長度的下限值。

4 性能仿真

基于AWGN信道，針對不同的頻率偏移量fd進行仿真實驗，根據采樣定理，忽略原始基帶信號本身的帶寬，實際應用中需保證帶有頻偏的基帶信號最高頻率(大頻偏時約等于頻偏值)小于采樣頻率的一半，在此范圍內的任意大小的頻率偏移均可以由上述改進后的算法估算出來。此外圖3還進行了幾組對比實驗，研究了不同信噪比下的估計性能。

圖3 不同信噪比下的估計性能

根據文獻[3]所述，算法估計的范圍不可能超過0.25，顯然通過進一步研究可以實現更為廣范圍(上限值為0.5)的頻偏估計。此外，可以看出，信噪比越高，則頻偏估計越準確、性能越好。

5 實踐與應用

5.1 實驗測試平臺簡介

本實驗基于Zedboard+AD9361實驗平臺。該開發板搭載了雙ARM Cores-A9 處理系統和85 000個7系列可編程單元。Zynq-7000 可以為板上許多應用提供支持。Zedboard實驗開發板由多路復用讀/寫口(Multiplexed I/O, MIO)、可編程邏輯單元(Programmable Logic,PL)、處理系統三大模塊構成。

射頻部分采用的是AD9361，如圖4所示。AD9361射頻模塊的參數可通過SPI進行配置，主要模塊的具體性能如下：

(1)收發天線數：AD9361支持集成的12位DAC和ADC的射頻2×2收發器。

(2)收發頻率范圍：AD9361發射天線與接收天線均支持70～6 000 MHz的頻率。

圖4 AD9361功能圖

AD9361射頻模塊支持2發2收的MIMO通信系統，工作頻段被設計為滿足4G通信要求，射頻主要參數設置見表1。

表1 射頻參數配置

5.2 系統模型

基于Zedboard+AD9361實驗系統，搭建了一個小型的2發2收的MIMO通信系統，此系統以2.4 GHz為中心載頻，射頻板的具體參數配置如表1所示。發射站有兩根天線，其距離為8 cm(注：2.4 GHz載頻的波長大致為12 cm，MIMO系統天線間的距離需保證大于半波長(即6 cm)即可)。接收站天線的距離設置與發射站相同。

5.3 測試結果展示

對于頻偏估計而言，精度和估計的范圍往往是最重要的性能指標[10]。此處為了提高精度，在設計無線幀時有意將訓練序列長度設置得較長，取L=500。為驗證改進后的頻偏估計算法的可靠性并測試系統固有頻偏(即振蕩器之間的頻率誤差)，將發射端和接收端的射頻都設置為2.4 GHz。在發射端先發射一個探測信號：

sg(t)=exp(j2πfg)

(26)

其中，fg=2 MHz，然后在接收端對收到的含有固有頻偏的導頻信號應用改進后的算法進行頻偏估計，利用MATLAB工具對含有固有頻偏的導頻信號進行頻譜分析，整理得到頻偏估計值曲線和頻譜圖如圖5、圖6所示。

圖5 探測信號頻譜對比

圖6 探測信號頻譜峰值位移對比

通過計算，實線相對于虛線峰值移動了12.188 kHz，也就說明固有頻偏為12.188 kHz，由表1知基帶采樣率為30.72 MHz，換算可得系統頻偏歸一化值為0.000 396。與此同時，采用算法估測的估計值如圖7所示。

圖7 系統固有頻偏實時估測

考慮振蕩器頻率本身會有一定的抖動性(盡管通常這種抖動可以忽略不計)，將實時估測值寫入終端，從圖7可以看出，歸一化頻偏估計值為0.000 403，與理論系統頻偏值(0.000 396)的方差小于10-10，考慮到誤差的存在，可以認為算法是可靠的。因此可進一步研究在不同的頻偏下該算法的性能。

保持接收端解調頻率為2.4 GHz不變，人為調整發射載頻，即設置一些確定的頻偏值，然后將實時的估測值與設計的理論值(已含有系統固有頻偏)進行對比(見表2)。從表中可以看出，估計值與理論值之間的方差均小于10-9。此外，表中最后一組數據很有意義，其說明了該算法可以估計范圍超過0.25的歸一化頻偏范圍。

表2 測試結果與理論值

6 結論

通過進一步的研究，將文獻[3]關于大頻偏下的時間頻率同步方法所述的頻率估測范圍進行了擴展，使得該方法可以勝任更大范圍(以采樣頻率的一半為上限值，即歸一化頻偏值0.5)的頻偏估計，同時，給出了詳細的仿真。最后，將改進后的算法應用于實際的MIMO傳輸環境中，測試數據表明，該方法確實可以解決實際應用中的頻率同步問題，并且在存在很大的頻偏時依然適用。

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