投資組合風(fēng)險(xiǎn)管理中VaR模型的缺陷及其修正模型CVaR的研究

丁 芳

（寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，寧夏 固原 756000）

風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)估和測(cè)量是金融風(fēng)險(xiǎn)管理的基礎(chǔ)和和核心。要給出風(fēng)險(xiǎn)的確切表達(dá)并不是那么容易，1993年G-30成員國(guó)在《衍生產(chǎn)品的實(shí)踐和規(guī)則》中首次提出利用“風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值”評(píng)估金融風(fēng)險(xiǎn)，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是指在一定概率水平（置信度）下，某種金融資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在未來特定的一段時(shí)間內(nèi)的最大可能損失[1]。VaR雖然具有概念簡(jiǎn)單，易于溝通和理解的優(yōu)點(diǎn)，但是VaR不管是在理論上還是在應(yīng)用上都存在巨大缺陷，因?yàn)榇罅繉?shí)證表明資產(chǎn)收益率是非正態(tài)的，具有明顯的尖峰后尾特性[2]，所以由于VaR存在這些缺陷，這些缺陷將影響投資組合選擇的正確性。本文研究了VaR如何避免上述缺陷從而提出了VaR的改進(jìn)模型CVaR。

一、VaR的兩個(gè)重大缺陷

（一）VaR不滿足一致性公理

在Artzner等人提出的一致性公理中，其認(rèn)為：在判斷某個(gè)風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量是否屬于一致性風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量時(shí)，可觀察其是否滿足正齊次性、單調(diào)性、次可加性以及傳遞不變性四個(gè)條件；進(jìn)一步的，對(duì)于充當(dāng)投資組合管理工具的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量方法必須應(yīng)當(dāng)符合一致性的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量方法。按照上述公式，若兩個(gè)不同投資組合的隨機(jī)回報(bào)采用向量x和y的形式表示，則上述兩個(gè)不同投資組合的隨機(jī)回報(bào)的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量可分別用ρ(x)和ρ(y)表示，此時(shí)，根據(jù)一致性公理的四大條件，可對(duì)上述風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量作如下表示：

正齊次性：ρ(αx)=αρ(x),α≥0為常數(shù)。正齊次性屬于次可加性的特例，其主要負(fù)責(zé)對(duì)沒有分散風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的投資回報(bào)的效應(yīng)進(jìn)行反映；

單調(diào)性：若x≤y，則ρ(x)≤ρ(y)。單調(diào)性主要負(fù)責(zé)對(duì)不同投資組合之間的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行比較，當(dāng)某一投資組合的單調(diào)性由于另一個(gè)投資組合時(shí)，認(rèn)為單調(diào)性更優(yōu)的投資組合的風(fēng)險(xiǎn)更低；

次可加性：ρ(x+y)≤ρ(x)+ρ(y)。與正齊次性相反，次可加性主要負(fù)責(zé)對(duì)具有分散風(fēng)險(xiǎn)的投資組合的特點(diǎn)進(jìn)行反映；

傳遞不變性：ρ(x+b(1+r))=ρ(x)-b其中，r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，b≥0。傳遞不變性主要負(fù)責(zé)如增加無風(fēng)險(xiǎn)的頭寸到組合中，組合風(fēng)險(xiǎn)將隨著無風(fēng)險(xiǎn)頭寸的增加而減少[3]。

一致性公理表達(dá)的是金融風(fēng)險(xiǎn)最基本的常識(shí)，通過這些常識(shí)將檢驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量工具對(duì)投資組合部分和整體的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量是否保證一致性（無矛盾）。公理的上述四大條件中，次可加性在計(jì)算中的作用最顯著。

（二）VaR尾部損失測(cè)量的非充分性

按照J(rèn)orion的觀點(diǎn)，所謂VaR，其本質(zhì)實(shí)際上是對(duì)某個(gè)置信水平下的分位點(diǎn)，因此，也可將其稱為分位點(diǎn)VaR。從VaR的應(yīng)用原理與特點(diǎn)來看，其尾部損失測(cè)量的非充分性特征較為明顯，分析原因主要在于利用VaR進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估與測(cè)量時(shí)，往往不能對(duì)超過分位點(diǎn)的相關(guān)下方風(fēng)險(xiǎn)信息進(jìn)行充分考慮，受此影響，人們往往會(huì)因此而忽略了小概率風(fēng)險(xiǎn)導(dǎo)致巨額損失情形的發(fā)生，而對(duì)于現(xiàn)代企業(yè)經(jīng)營(yíng)而言，上述風(fēng)險(xiǎn)情況正是其在進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理時(shí)所必須給予重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容。

二、VaR的優(yōu)化模型CVaR模型的提出

（一）CVaR模型

大量實(shí)證研究表明，資產(chǎn)回報(bào)是非正態(tài)的，它具有尖峰后尾性，這極大地限制了VaR的應(yīng)用范圍，為了修正VaR，RockafeUar和Uryasev等于1997年提出的一種較VaR更優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量技術(shù)CVaR（Con-ditional Value at Risk），其含義是指在一定的置信度和正常的市場(chǎng)條件下，在給定的時(shí)間T內(nèi)，投資組合的損失超過某個(gè)給定VaR值條件下的期望損失，用公式可表示為：

CVaR=E(-X|-X＞VaR)

式中，X為資產(chǎn)組合的損失額，即X=WΔt-E(W)。至于CVaR值的計(jì)算因?yàn)樯婕暗絍aR值，所以很難計(jì)算，在實(shí)際計(jì)算過程中我們需要通過構(gòu)造輔助函數(shù)計(jì)算。由CVaR的定義我們很容易知道CVaR滿足傳遞不變性，單調(diào)性與正齊次性，CVaR具有次可加性，對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y，Z=X+Y也滿足：

CRaR(Z)≤CVaR(X)+CVaR(Y)。

（二）CVaR的優(yōu)勢(shì)

相較于VaR模型，CVaR模型能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)——“尖峰”以及“厚尾”現(xiàn)象的有效控制，因此可有效解決VaR模型下難以對(duì)尾部損失風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)的問題，長(zhǎng)遠(yuǎn)來看，這對(duì)于因?yàn)槲膊繐p失風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)不足而導(dǎo)致的極端事件和重大經(jīng)濟(jì)損失的避免與防止有重要作用。

此外，CVaR模型有著較強(qiáng)的適應(yīng)性也是其主要的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)之一。Artzner等證明了CVaR在進(jìn)行投資組合優(yōu)化時(shí)，對(duì)于CVaR的求解可以采用熟悉的凸組合規(guī)劃來解決，另外CVaR是滿足次可加性和凸的，符合一致性風(fēng)險(xiǎn)度量的條件[4]。

三、風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量方法的評(píng)價(jià)

從數(shù)學(xué)意義上講，CVaR是一個(gè)條件期望，反映了損失在VaR值以上時(shí)可能遭受的平均損失的大小，從該層面出發(fā)，其相較于VaR值，能夠更加準(zhǔn)確、靈活的對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的潛在價(jià)值進(jìn)行估計(jì)。CVaR較VaR有更加良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)和可操作性。

（一）CVaR滿足次可加性，是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量

CVaR函數(shù)滿足Artzner等提出的一致性公理，VaR不滿足次可加性，對(duì)非正態(tài)分布的情形，不是一致風(fēng)險(xiǎn)度量，當(dāng)兩種資產(chǎn)組合的VaR值比各自單獨(dú)的VaR值的和更大時(shí)，意味著對(duì)資產(chǎn)組合進(jìn)行分散不僅不能夠降低投資風(fēng)險(xiǎn)，相反，投資的風(fēng)險(xiǎn)還會(huì)因此而增加。另外，在正態(tài)分布的情況下，CVaR度量和VaR度量等價(jià)，此時(shí)，經(jīng)過一定的公式計(jì)算同樣能夠得出最優(yōu)解；但需要注意的是，在非正態(tài)分布的情況下，在求解最優(yōu)解時(shí)，應(yīng)當(dāng)確保CVaR同時(shí)滿足次可加性和凸型的要求，與此同時(shí)，若VaR度量為極小值點(diǎn)，則將不存在最優(yōu)解，此外，若CVaR為極小值，則此時(shí)，不論投資回報(bào)是否滿足正態(tài)分布條件，其均存在最優(yōu)解。

（二）CVaR和VaR相比

CVaR是尾部損失的平均值，其能夠?qū)Τ鯲aR部分損失的相關(guān)信息進(jìn)行準(zhǔn)確反映；與此同時(shí)，VaR主要反映的是一定置信度內(nèi)的投資最大損失，其未能對(duì)高于VaR值損失部分可能性的發(fā)生進(jìn)行排除，但是CVaR剛好考慮的是尾部損失的期望值大小，因此在一定的程度上排除了尾部風(fēng)險(xiǎn)，計(jì)算CVaR要對(duì)大于VaR的所有尾部損失進(jìn)行估計(jì)，受此影響，在利用CVaR進(jìn)行測(cè)度時(shí)，其對(duì)于損益分布的尾部損失度量較VaR更加完整、充分，尤其是損益分布不滿足正態(tài)分布時(shí)，利用CVaR進(jìn)行測(cè)量和計(jì)算，可獲得較VaR更全面、有效數(shù)理特征。另外，利用CVaR進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)估算，能夠在對(duì)原有系統(tǒng)進(jìn)行保留的情況下同時(shí)獲得CVaR值，除此之外，相應(yīng)的VaR值也可通過計(jì)算獲取，因此，能夠?qū)崿F(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)實(shí)施進(jìn)行雙重監(jiān)測(cè)的目的；與此同時(shí)，上述優(yōu)勢(shì)也使得CVaR計(jì)算下能夠?qū)Σ煌慕Y(jié)果進(jìn)行相互校驗(yàn)，這對(duì)于檢驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性的提升有重要意義。總之，在社會(huì)未來的發(fā)展中，隨著金融全球化進(jìn)程的不斷加深，為進(jìn)一步降低金融風(fēng)險(xiǎn)，CVaR的應(yīng)用范圍和應(yīng)用深度必將不斷擴(kuò)大和增強(qiáng)。