淺談數學歸納法的邏輯基礎

王永琦

摘 要：數學歸納法的邏輯基礎目前有三種看法，一部分學者認為數學歸納法的邏輯基礎是歸納法，一部分學者認為是演繹法，還有一部分學者認為歸納法和演繹法二者結合是數學歸納法的邏輯基礎。對于此可以從數學歸納法的由來和美中邏輯基礎的代表思想及其發展過程進行探討。

關鍵詞：數學歸納法；歸納法；演繹法；邏輯基礎

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2018）06-0178-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.06.113

數學證明方法分為構造性方法和非構造性方法，構造性方法是指通過證明解釋定理或者關系的存在性問題，非構造性方法包括數學歸納法和反證法，數學歸納法可以看作是半構造性方法。數學歸納法是數學證明中的一種重要方法，利用數學歸納法可以通過普遍證明特殊問題，通過有限證明無限問題。

一、數學歸納法的發展

最早提出數學歸納法的數學家是歐幾里得，可以追溯至公元前三世紀，在其《幾何原本》中可以查到記載。莫羅利科在十五世紀七十年代明確提出了遞歸推理的思想，并且利用數學歸納法成功證明了賈憲三角，記載在其書寫的《論算數三角形》中，這是數學歸納法的首次運用。數學歸納法在歷史上存在已久，其在數學學科中的重要性也顯而易見，但是數學歸納法的邏輯基礎仍然沒有廣泛同意的觀點。十九世紀末，數學歸納法的邏輯基礎首次被意大利的數學家皮亞杰提出，并在《算數原理新方法》中公開發表。盡管如此，數學歸納法的邏輯基礎仍然沒有得到各國學者的統一認定，數學歸納法一直在數學學科研究中得到廣泛應用。目前對于數學歸納法的邏輯基礎有三種不同的看法，有些學者認為數學歸納法的邏輯基礎是歸納法，有些學者認為數學歸納法的邏輯基礎是演繹法，由于對歸納法和演繹法的認識和理解也沒有得到統一，因此還有一些學者認為數學歸納法的邏輯基礎是歸納法和演繹法的結合[1，2]。

二、數學歸納法的邏輯基礎

（一）數學歸納法的邏輯基礎是歸納法

將數學歸納法的邏輯基礎看作是歸納法的思想在上世紀五六十年代的數學界廣泛認可，用歸納法的方式教授數學歸納法得到廣泛認可。上世紀八十年代，范光忠對歸納法進行了總結，歸納法包含完全歸納法和不完全歸納法，不完全歸納法又包含窮舉法和數學歸納法，但是由于期間國家政治經濟發生了巨大的動蕩和變化，這一思想沒有寫入教科書中。1994年，申祝平對范光忠的觀點提出不同看法，認為數學歸納法的說法本身存在歧義，數學歸納法稱之為歸納。在上海高中數學教材中，將歸納法分為四個部分，包含歸納法，數學歸納法，完全歸納法和不完全歸納法。2004年呂寶興提出數學歸納法應該屬于完全歸納法的概念范疇[1]。

（二）數學歸納法的邏輯基礎不是歸納法

數學歸納法的邏輯基礎不是歸納法的思想在很多年前已經存在，并且有數學家明確指出了數學歸納法和歸納法之間存在本質區別。上世紀八十年代出現的《中學數學教材教法總論》一書中明確指出：“數學歸納法不屬于前面所說的歸納推理，而是根據歸納原理綜合運用歸納、演繹推理的一種特殊的數學證明方法”，在當時的數學界得到了廣泛的認可。在1980年出版的數學課本中，數學歸納法、與反證法和同一法一起作為間接證明的方法寫入課本。

1982年時，復旦大學附屬中學在數學教學中提出，學生對于數學歸納法的認知困難是由于數學歸納法的本質并不是歸納法，也不是完全歸納法，那么教授的環節已經出現了錯誤：數學歸納法不能當作歸納法或者完全歸納法教授，之前的教授方法與學習內容存在了脫節，必然導致學生在數學歸納法的學習中存在很大的困難，也更無法在數學歸納法的理解中發現實質性的問題。曾容認為數學歸納法的名稱本身就容易引起誤解，讓人們很容易將數學歸納法與歸納法產生聯系，但是數學歸納法應該是遞歸推證法[2]。

（三）數學歸納法的邏輯基礎是演繹法

數學歸納法的邏輯基礎是演繹法的思想在上世紀五十年代已經得到蘇聯數學家的廣泛認可，但是在我國過了幾十年才出現這種思想。上文已經提及數學歸納法和歸納法雖然名稱相近，但是本質上存在區別，數學歸納法的基礎應該是遞歸推理原理。這種思想的發展是由于數學思想和方法不斷嚴謹，不斷發展出現的。數學歸納法在一定意義上被認為是古典演繹邏輯發展的必然結果。因此，單純從名字望文生義，將數學歸納法與歸納法混為一談是非常荒謬的做法。將這一思想及時更正有利于數學教學質量的提升和數學思想的發展。歸納法主要用于數學推理，對發現數學問題作出了貢獻，其結構不一定為真。數學歸納法的實質是演繹法，其結構為真。數學歸納法和歸納法的本質區別的面紗得以揭開，使人們對數學歸納法的本質有了明確的認識，成功實現了數學問題中有限向無限的證明，促進了數學教學的提升和數學思想的發展。

（四）數學歸納法的邏輯基礎是歸納法與演繹法的結合

有一部分學者認為數學歸納法的邏輯基礎是歸納法和演繹法的結合，歸納法和演繹法不存在實質性的分歧，都是數學證明的分支。1992年趙龍山提出數學歸納法的邏輯基礎是自然數，并且認為以現代邏輯觀點為基礎，演繹推理的方法是找出前提條件和結論之間的必然聯系，那么，數學歸納法在這種觀點的背景下也應該是以演繹為基礎發展的方法。但是，我們可以肯定的是，數學歸納法并非只能通過演繹推理的方法證明，采用數學歸納法證明一個問題時，首先要通過普遍性進行推理，由普遍性證明特殊性，由有窮性證明無窮性，然后將推理結果進行總結歸納，因此數學歸納法是演繹法和歸納法的結合。數學歸納法既是演繹法又是歸納法。鐘寶山和揚熙鵬在1991年提出一個觀點支持這一邏輯基礎，他們認為歸納法和演繹法二者之間互為基礎和先導，二者之間存在一定的聯系，因此數學歸納法的邏輯基礎必須以二者結合為基礎，不能單獨拆除一個部分。

三、總結

根據以上分析，數學歸納法的邏輯基礎仍然沒有得到統一的答案，暫且可以認為數學歸納法的邏輯基礎既包含演繹推理，又包含歸納總結。數學歸納法的存在為數學難題的解決起到了強大的推動作用，然而對于數學歸納法的邏輯基礎的探討，隨著社會經濟政治的發展仍然會有不同的爭議。

參考文獻：

[1] 申祝平.為“數學歸納法”正名[J].中學數學教學參考，1994（5）.

[2] 曾容.數學歸納法的教學探討[J].數學教學，1982（1）.endprint