淺談一元整系數多項式的因式分解方法

尹雯靜

摘 要：多項式的因式分解是數學學習中一項基本的技能。在分式運算、解方程和各種恒等變換中都常用到因式分解。但多項式因式分解的方法靈活多變，在分解時需要各種技巧。本文對一元多項式的因式分解進行了初步探索，闡述了一元多項式分解的兩種方法。

關鍵詞：一元多項式；因式分解；分組分解；待定系數

在實際學習的過程中，總會遇到多項式因式分解的問題，但由于多項式的因式分解沒有刻板的程序可以依循，往往使人感覺難度較大，不好掌握。本文主要是給出因式分解的兩種比較容易和實用的方法。

1分組分解法

分組分解法是因式分解中常用的一種方法，運用此類方法分解的多項式各項之間的聯系比較明顯，有些項之間存在公因式，因此可以進行提取公因式等步驟。而此類解法常與拆項添項法合并使用，通過拆項或添項建立起各項之間的聯系。

第一步：觀察多項式的結構，可以適當利用拆項或添項的方法將多項式分成若干組；第二步：將分組情況進行適當的調整，使每組中各項可以提取公因式，且各組之間也有公因式存在；第三步：通過多次提取公因式，將多項式表示為幾個部分的乘積，完成分解。

例題1：在有理數集內分解[x3+6x2+11x+6]的因式。

解：首先我們可以通過拆項將多項式分為有公因式的兩組：

原式[=x3+6x2+11x+6=x3+6x2+9x+（2x+6）]

[=xx2+6x+9+2x+3=x（x+3）2+2（x+3）]

[=（x+3）xx+3+2] （1）

式有兩項構成，但是方括號內的部分顯然沒有分解完成，而且項與項之間不含公因式，也不能直接利用公式和分組分解，故需打開括號重新組合。為了方便說明我們將中括號中的多項式單獨提出來進行分解。

[xx+3+2=x2+3x+2=x2+x+2x+2=xx+1+2x+1=（x+1）（x+2）]

故[x3+6x2+11x+6=（x+1）（x+2）（x+3）]。

例題2：在有理數集內分解[x5+x-1]。

解：首先通過觀察，我們發現，本題中[x5]與[x]的次數相差較大，我們可以考慮通過添加一些中間項，使它們產生聯系。需要注意的是為了保持原式的不變，添加的項最后一定要減去。

原式[=x5+x+1=x5+x2-x2+x+1]

[=x2x3+1-（x2-x+1）]

[=x2x+1（x2-x+1）-（x2-x+1）]

[=（x2-x+1）（x3+x2-1）]。

2待定系數法

待定系數法相對于其他因式分解的方法更易掌握且適用范圍較廣，但其中利用到了綜合除法的知識且最后需要求出各系數的值，計算較為繁雜。

第一步：利用綜合除法試除常數項的因式，判定原式分解后所成的因式的乘積形式。

第二步：列出方程組，確定待定系數的值。

第三步：將各個待定系數的值代入相應的位置，完成分解。

例題3：在有理數集上分解因式[x4-x3+6x2-x+15]。

解：先用綜合除法。可能的試除數是±1，±3，±5，±15，試除結果都被排除，因此原式在Q上沒有一次因式。假定原式含有x的二次因式，設：

[x4-x3+6x2-x+15=x2+mx+kx2+nx+l]

[=x4+m+nx3+k+mn+lx2+ml+nkx+kl]

比較等式兩端的系數，得[m+n=-1 （1）k+mn+l=6（2）ml+nk=-1 （3）kl=15 （4）]

（4）式中的k，l同是常數項15的因數，因此k和l的值可能是：

[k=3l=5k=5l=3k=-3l=-5k=-5l=-3]

將[k=3l=5]代入（3）得5m+3n=-1 （5）

將（1）（5）聯立得[m=1n=-2]且k=3，l=5，m=1，n=-2滿足（2）式。

因此m=1，n=-2，k=3，l=5是方程組的解。

所以[x4-x3+6x2-x+15=x2+x+3x2-2x+5]。

3利用因式定理和綜合除法

此方法主要是利用因式定理（f（x）有因式x-a的充分必要條件是f（a）=0）來尋找整系數多項式f（x）的一次因式。當a是有理數時，可用綜合除法來確定，這種方法的理論性較強，其主要依據是：若整系數多項式f（x）=[anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0]有因式x[-pq]（p，q互質且均為整數），則p，q一定分別是[an]和[a0]的約數。

第一步：寫出f（x）的首項系數[an]和常數項[a0]的所有因數；第二步：以[an]的因數為分母，[a0]的因數為分子，寫出所有可能的既約分數，作為試除數；第三步：利用綜合除法試除，確定f（x）的根；第四步：寫出f（x）的標準分解式。

例題4：分解整系數多項式f（x）[=3x3-2x2+9x-6]的因式。

解：可能的試除數是±1，±2，±3，±6，±1/3，±2/3。

因為f（x）的奇次項系數都是正數，偶次項系數都是負數，故只選正的試除數即可，即：1，2，3，6，1/3，2/3。

f（1）=3-2+9-6≠0，則1排除，用2試除：

f（2）=28≠0，則2排除，同樣3，6，1/3都排除，用2/3試除：

所以f（x）[=（x-23）3x2+9=（3x-2）（x2+3）]。

參考文獻：

[1]牛繼武.因式分解及其應用[M].天津科學出版社，1988，1.

[2]李長明，周煥山.初等數學研究[M].高等教育出版社，2016，12.

[3]張霞.多項式因式分解的方法[J].黑龍江科技信息，2012.