中職高考數學研究之函數

王斌

摘 要：中職高考數學函數部分不但在高考中占有很大的份額，而且是今后學好數學的基礎，函數有很強的數學特點，本人將對函數研究所得，從幾個方面加以詮釋，希望為教育者和受教育者提供一些幫助。

關鍵詞：函數；定義域；值域；圖像；性質

函數是數學的重要的基礎概念之一。包括極限理論、微分學、積分學、微分方程乃至泛函分析等高等學校開設的數學基礎課程，無一不是以函數作為基本概念和研究對象的。中職高考數學中，函數占有百分之四十的份額，是函數概念的再認識階段，即用集合、映射的思想理解函數的一般定義，加深對函數概念的理解，在此基礎上研究了指數函數、對數函數、三角函數等基本初等函數的概念、圖象和性質，從而使學生在函數的學習中獲得較為系統的函數知識。本人在此把冪函數、指數函數、對數函數研究所得，與大家分享一下。

一、函數概念發展簡史

函數的發展過程也是一個漫長，不斷發展的過程，從17世紀最早的幾何意義下的函數概念，到18世紀代數概念下的函數概念，到了19世紀發展到了對應意義下的函數概念，直到康托的集合論產生之后，才發展到現代的集合論下的函數概念。在中國，直到清代數學家李善蘭（1811—1882）翻譯的《代數學》一書中首次把“function”翻譯成“函數”，此譯名沿用至今。對為什么翻譯成函數，書中解釋說“凡此變數中函彼變數者，則稱此為彼之函數”。

二、函數的主要知識點

函數的概念經過幾個世紀的沉淀、完善才確定下來，定義中的每一句話都至關重要，定義中指明了自變量的范圍，指出了函數值的范圍，更強調了“此變數中函彼變數”，即為我們今天所說的函數“三要素”。對函數的定義要字斟句酌，這是學習函數的敲門磚，只有真正理解了，才能學好數學，研究函數的套路基本上都是一樣的。

（1）函數名稱。

（2）函數定義域、值域。

（3）函數圖像。

（4）函數性質（單調性、奇偶性）。

而在具體學習過程中，記住函數的解析式，記住函數的圖像，學會看函數的圖像，就可以觀察出函數的定義域、值域及函數的性質。所以學習函數必須掌握函數與圖像的關系，理解“滿足函數關系式y=f（x）的x、y做為坐標（x，y）所對應點都在函數的圖像上，函數圖像上的點的坐標（x，y）都滿足方程y=f（x）”。

（一）冪函數

1.冪函數：[]（其中a是不為0的常數）。

2.函數的定義域、值域因a的值不同而不同，下面把常用的幾個冪函數的圖像畫出來如下圖，函數的性質可從圖像上觀察出來：

（1）f（x）=x；

（2）[f（x）=x2]；

（3）[f（x）=x3]；

（4）[f（x）=x-12]；

（5）[y=x-13]；

（6）[y=x12]；

（7）[y=x13]。

由圖像可以看出來，如（1）f（x）=x的圖像是過一、三象限及原點的一條直線，橫向看是兩端無限延長的、連續的，所以它的定義域是全體實數，縱向看出是連續、無限延長的所以值域也是全體實數。

函數f（x）=x的圖像是關于原點對稱的，所以，函數是奇函數。圖像自左向右是上升的，所以，函數是定義域內的增函數。如（6）[y=x12]函數的圖像橫向上看，它只在x軸的正半軸上方有圖像，所以函數的定義域是x≥0的全體實數，縱向看，函數只在y軸的右方有圖像，所以，函數的值域是y≥0的全體實數。函數的圖像不對稱，所以，函數不具備奇、偶性。函數的圖像是定義域內上升的，所以，函數是定義域內的增函數。

（二）指數函數

1.指數函數：[f（x）=ax]（a>0且a≠1）。

函數的定義域是x∈R；值域是y>0。

2.函數的圖像有兩類：

如圖a>1是一類，圖像左方向下無限接近x軸但不相交，右方向上、向右無限延長；另一類是a<1，圖像右方向下無限接近x軸，但不相交，左方向左、向上無限延長。從圖像上可以清楚看出，無論a>1還是a<1，函數橫向都是向兩端無限延長，所以，函數的定義域是全體實數，縱向看，圖像都是在x軸上方，所以，值域是大于0的全體實數。

3.從函數的圖像上看，圖像不對稱，所以，函數不具備奇、偶性；a>1時，函數圖像是上升的，所以，是增函數；a<1時，函數的圖像是下降的，所以，函數是減函數。

（三）對數函數

1.對數函數：[fx=logax（a>0且a≠1）]。

2.對數函數的定義域是：x>0，的全體實數，值域是y∈R。

3.對數函數的圖像是：

如下左圖，一類是底a>1的圖像，一類是底0

4.對數函數的性質：從圖像很容易看出，對數函數不具備奇、偶性。當底a>1時，函數是定義域上的增函數；當底0

三、函數部分的主要考點

函數在中職高考數學中占有重要的地位，所以，在高考中所占的份額也較大，主要有以下幾種題型：

1.求函數的解析式及函數值。

如例1.已知指數函數圖像經過點（2，9），求函數的解析式并求f（-1）、f（3）的值。

解析：這類題首先要記住函數的解析式的形式，本題是指數函數

解析式是[f（x）=ax]，只要求出了底[a]，就求出了函數的解析式。函數圖像過點（2，9），代入解析式，就可求出底[a]其它兩類函數也是這樣求解。

解：指數函數的解析式為[f（x）=ax]，函數圖像過點（2，9），

則有[f2=a2=9]，所以，a=3，指數函數解析式為[f（x）=3x]。

所以[f-1=3-1=13F3=33=27]。

2.求函數定義域。

例2.求函數的定義域：

[fx=3x-2+6+x-x2-lgx-1+（x+1）0]。

解析：中職數學高考題的第21題，也就是第一個大的計算題就是求函數的定義域，求函數的定義域一般考慮五個問題：①分母不為0；②偶次根號下非負；③零次冪的底不為0；④對數的真數大于0；⑤實際意義。函數的定義域就是求各部分的交集。

解：

由題知[x-2≠0 6+x-x2≥0x-1>0 x+1≠0 ]，解之得：[x≠2 -2≤x≤3x>-1 x≠-1 ]

函數的定義域是：x∈{x|1

3.求值的變化范圍。

例3.已知指數函數[f（x）=2x]的函數值[f（x）]滿足1≤[f（x）]≤4，求：自變量x的取值范圍。

解析：此類題就是考學生對指數函數圖像的觀察理解，函數值滿足1≤f（x）≤4，即是用直線y=1和直線y=8去截指數函數[f（x）=2x]的圖像，看截得的部分對應于x軸的范圍，就是自變量的取值范圍。其它兩類函數的題也是類似方法解決。

解：由右圖可知：

函數值f（x）滿足1≤f（x）≤4，

自變量的范圍是0≤x≤2。

函數部分有很強的數學特性，應仔細研究，認真體會，可以說，只有學好函數，才能學好數學。

參考文獻：

[1]李廣全，李尚志.數學[M].高等教育出版社.

[2]袁振國.當代教育學[M].教育科學出版社，2004.