一道高校自主招生試題的參考答案疑點與剖析

黃紹書

(六盤水市第23中學 貴州 六盤水 553000)

蔣金團

(施甸縣第一中學 云南 保山 678200)

1 問題的提出

【題目】兩個帶電小球A和B，所帶電荷量相同，符號相反，質量分別是m和2m.初始時刻，它們間距為d，小球B靜止，小球A沿著與兩者連線相垂直的方向以速度v運動，如圖1所示.隨后，它們多次處于相距3d的位置上.求小球所帶電荷量.

圖1 題圖

這是2015年中國科學技術大學自主招生選拔考試物理試題第4題，其參考答案如下.

圖2 兩個質點的速度分析

當帶電荷量q過小時，兩球將相距無窮遠.根據能量守恒定律，有

(1)

式中零表示兩球恰好相距無窮遠時的能量，解得

(2)

當帶電荷量q過大時，兩球將相距小于3d.根據角動量守恒定律和能量守恒定律，有

(3)

因為末狀態兩球連線方向可能有速度，右端未計入此部分動能，所以取“≥”號.解得

(4)

所以，小球所帶的電荷量滿足

(5)

2 答案的疑點

這道試題的參考答案存在兩個疑點，令人費解.

疑點1:答案中“帶電荷量q過小時，兩球將相距無窮遠”的說法是沒有道理的，由此得出的式(1)、(2)當然也是站不住腳的.并且，相距無窮遠與式(1)是自相矛盾的.

疑點2:答案中“帶電荷量q過大時，兩球將相距小于3d”同樣沒有依據，由此給出的式(3)、(4)也就存在模糊感.因為，系統的相對運動規律或相對運動模型不明確.

3 問題的剖析

根據兩小球之間的相對距離多次出現在3d位置，可以說明系統是做周期性運動.因此，小球或系統在平方反比的庫侖引力作用下將做橢圓軌道運動，運動過程中兩小球的遠點相對距離dm≥3d.為此，我們將試題分兩種情況進行剖析.

(1)若B固定，那么，A繞B做橢圓軌道運動.這時B處于軌道的一個焦點上，軌道的拱點距離分別為d和dm(dm≥3d)，如圖3所示.根據角動量守恒定律和能量守恒定律，有

(6)

所以

(7)

當dm=3d時，式(6)、(7)中取“=”號.

圖3 B固定，A繞B做橢圓軌道分析

(8)

因此

(9)

當dm=3d時，式(8)、(9)中取“=”號.

圖4 B不固定，對A,B的運動分析

4 討論與說明

(1)關于小球所帶電荷量，根據初始條件是可以唯一確定的，不存在電荷量過小或電荷量過大的問題.

(2)當小球不在橢圓軌道的拱點位置時，徑向速度不為零.式(6)～(9)中的速度均為切向速度，沒有計入徑向速度.

(3)如果運動過程中兩小球之間的相對遠點距離dm>3d，那么它們之間的相對距離為3d時的速度方向跟它們的連線是不垂直的，兩球連線方向有徑向速度.因此，式(6)～(9)中取“≥”號.

(4)比較式(3)和式(8)，參考答案已經直接或間接應用了圖4所示的運動模型，但(3)的說理是不清楚的.

(5)宇宙中一些雙星系統的運動規律與本文試題中兩小球組成系統的圖4所示模型是完全類似的.

1 2015年中國科學技術大學自主選拔能力測試物理探究試題及參考答案

2 漆安慎，杜嬋英.力學.北京：高等教育出版社,2005.167～178