基于正弦函數(shù)的直覺模糊集相似度測量及其應(yīng)用*

楊 勇，張東升，王艷茹，張亞男

(西北師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

1 引言

1965年，Zadeh[1]提出了模糊集理論，該理論為處理不精確、不確定的數(shù)據(jù)和信息提供了一個重要工具。Atanassov[2]于1986年對模糊集進(jìn)行拓展，給出了直覺模糊集概念，由于它同時考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度三方面的信息，因此與模糊集相比，直覺模糊集在處理信息的模糊性和不確定性時更具有靈活性和實(shí)用性。Gau和Buehrer[3]于1993年定義了Vague集概念，后來Bustince和Burillo[4]證明了Vague集就是直覺模糊集。

相似度測量是度量兩個對象之間相似程度的一個重要方法，它在決策分析[5]、模式識別[6]和醫(yī)療診斷[7]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。1995年Chen[8]將相似度引入Vague集，1999年Hong 和Kim[9]對Chen的方法進(jìn)行改進(jìn)。2002年Li和Cheng[10]提出了一種測量兩個直覺模糊集間相似程度的計(jì)算公式，并將其用在模式識別中。2011年Ye[11]利用向量的知識定義了余弦相似度測量公式，但該公式在某些情況下會出現(xiàn)不合理現(xiàn)象，為彌補(bǔ)該缺陷，Shi和Ye[12]通過考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度三方面的信息對文獻(xiàn)[11]中的公式進(jìn)行改進(jìn)，提出余弦相似度測量公式的另外一種形式。接著2013年Tian[13]給出了基于余切函數(shù)的相似度測量公式，使計(jì)算過程更加簡單化。受文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[13]中相似度測量公式的啟發(fā)，本文對三角相似度測量進(jìn)一步拓展，提出基于正弦函數(shù)的相似度測量公式，并應(yīng)用于醫(yī)療診斷和汽車發(fā)動機(jī)的設(shè)計(jì)方案決策中。

2 預(yù)備知識

定義1設(shè)X為論域，其中任意一個元素用x表示，則在X上的直覺模糊集A定義為：A={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}，其中μA(x)和vA(x)分別表示成員隸屬度和非成員隸屬度，即μA(x)：X→[0,1]，vA(x)：X→[0,1]，并且需滿足條件0≤μA(x)+vA(x)≤1。此外，πA(x)=1-μA(x)-vA(x)，x∈X，表示X中x屬于A的猶豫度或不確定度。

設(shè)A={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}和B={〈x,μB(x),vB(x)〉|x∈X}為論域X上的兩個直覺模糊集，則：

(1)A?B當(dāng)且僅當(dāng)μA(x)≤μB(x)，vA(x)≥vB(x)，x∈X。

(2)A=B當(dāng)且僅當(dāng)μA(x)=μB(x)，vA(x)=vB(x)，x∈X。

定義2設(shè)A={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}和B={〈x,μB(x),vB(x)〉|x∈X}為論域X上的兩個直覺模糊集，S為一個映射：IFS(x)×IFS(x)→[0,1]，如果它滿足下面4個條件：

(S1) 0≤S(A,B)≤1；

(S2)S(A,B)=1當(dāng)且僅當(dāng)A=B；

(S3)S(A,B)=S(B,A)；

(S4) 若A?B?C，有S(A,C)≤S(A,B)，S(A,C)≤S(B,C)。

則稱S(A,B)為直覺模糊集A和B之間的相似度。

Ye在文獻(xiàn)[11]中利用向量的知識提出了如下基于余弦函數(shù)的相似度測量公式：

C1(A,B)=

(1)

通過研究發(fā)現(xiàn)，在該余弦相似度測量公式中，如果μA(xj)=vA(xj)=0或μB(xj)=vB(xj)=0，則該公式就會出現(xiàn)分母為零的現(xiàn)象。在這種情況下，該公式就不能用于計(jì)算直覺模糊集A和B之間的相似度測量值。另外，如果μA(xj)=kμB(xj)，vA(xj)=kvB(xj)，其中k≠1，xj∈X(j=1,2,…,n)，即A≠B，則用公式(1)來計(jì)算相似度測量值，其結(jié)果都等于1。在這種情況下該公式不滿足定義2中的條件(S2)。

為了彌補(bǔ)公式(1)的不足，通過引入隸屬度、非隸屬度和猶豫度三方面的信息，Shi和Ye在文獻(xiàn)[12]中提出了余弦相似度測量公式的另外一種形式。

vA(xj)vB(xj)+πA(xj)πB(xj))/

(2)

Tian在文獻(xiàn)[13]中提出了如下直覺模糊集之間的余切相似度測量公式:

(3)

在實(shí)際應(yīng)用中，直覺模糊集中每個元素的權(quán)重往往是不相同的，因此在文獻(xiàn)[11 - 13]中分別提出了如下直覺模糊集之間加權(quán)的余弦相似度測量公式和余切相似度測量公式：

WC1(A,B)=

(4)

vA(xj)vB(xj)+πA(xj)πB(xj))/

(5)

(6)

3 正弦相似度測量

3.1 正弦相似度測量公式的定義

設(shè)A和B為論域X={x1,x2,…,xn}上兩個直覺模糊集，則分別定義A和B之間的兩個正弦相似度測量公式SN1(A,B)和SN2(A,B)如下：

μB(xj)|∨|vA(xj)-vB(xj)|∨|πA(xj)-

(7)

μB(xj)|+|vA(xj)-vB(xj)|+|πA(xj)-

(8)

3.2 正弦相似度測量公式證明

證明

(S1)與(S3)顯然成立，下面只證明(S2)和(S4)。

(S2) 設(shè)A和B是論域X={x1,x2,…,xn}上的兩個直覺模糊集，若A=B,則有μA(xj)=μB(xj),vA(xj)=vB(xj),πA(xj)=πB(xj),xj∈X,j=1,2,…,n，得|μA(xj)-μB(xj)|=0,|vA(xj)-vB(xj)|=0,|πA(xj)-πB(xj)|=0。故，SNk(A,B)=1,其中k=1,2。

反之，若SNk(A,B)=1,k=1,2，有|μA(xj)-μB(xj)|=0,|vA(xj)-vB(xj)|=0,|πA(xj)-πB(xj)|=0,xj∈X,j=1,2,…,n。所以μA(xj)=μB(xj),vA(xj)=vB(xj),πA(xj)=πB(xj),x∈X。故，A=B。

(S4) 如果A?B?C，有μA(xj)≤μB(xj)≤μC(xj),vA(xj)≥vB(xj)≥vC(xj),xj∈X,j=1,2,…,n。可得：

|μA(xj)-μB(xj)|≤|μA(xj)-μC(xj)|

(a)

|μB(xj)-μC(xj)|≤|μA(xj)-μC(xj)|

(b)

|vA(xj)-vB(xj)|≤|vA(xj)-vC(xj)|

(c)

|vB(xj)-vC(xj)|≤|vA(xj)-vC(xj)|

(d)

(1)k=1。

由πA(xj)=1-μA(xj)-vA(xj),πB(xj)=1-μB(xj)-vB(xj),πC(xj)=1-μC(xj)-vC(xj)，

可得：

|πA(xj)-πB(xj)|=

|(1-μA(xj)-vA(xj))-(1-μB(xj)-vB(xj))|=

|(μB(xj)-μA(xj))+(vB(xj)-vA(xj))|≤|μB(xj)-μA(xj)|∨|vB(xj)-vA(xj)|

|πA(xj)-πC(xj)|=

|(1-μA(xj)-vA(xj))-(1-μC(xj)-vC(xj))|=

|(μC(xj)-μA(xj))+(vC(xj)-vA(xj))|≤|μC(xj)-μA(xj)|∨|vC(xj)-vA(xj)|

從而,

|μA(xj)-μB(xj)|∨|vA(xj)-vB(xj)|∨|πA(xj)-πB(xj)|=

|μA(xj)-μB(xj)|∨|vA(xj)-vB(xj)|

|μA(xj)-μC(xj)|∨|vA(xj)-vC(xj)|∨|πA(xj)-πC(xj)|=

|μA(xj)-μC(xj)|∨|vA(xj)-vC(xj)|

因此,

|μA(xj)-μB(xj)|∨|vA(xj)-vB(xj)|∨|πA(xj)-πB(xj)|≤

|μA(xj)-μC(xj)|∨|vA(xj)-vC(xj)|∨|πA(xj)-πC(xj)|

同理,

|μB(xj)-μC(xj)|∨|vB(xj)-vC(xj)|∨|πB(xj)-πC(xj)|≤

|μA(xj)-μC(xj)|∨|vA(xj)-vC(xj)|∨|πA(xj)-πC(xj)|

故SN1(A,C)≤SN1(B,C)。

(2)k=2。

由條件可得:

|μA(xj)-μB(xj)|+|vA(xj)-vB(xj)|+|πA(xj)-πB(xj)|=

μB(xj)-μA(xj)+vA(xj)-vB(xj)+|μB(xj)-μB(xj)+(vB(xj)-vA(xj))|

|μA(xj)-μC(xj)|+|vA(xj)-vC(xj)|+|πA(xj)-πC(xj)|=

μC(xj)-μA(xj)+vA(xj)-vC(xj)+|(μC(xj)-μA(xj))+(vC(xj)-vA(xj))|

①當(dāng)μB(xj)-μA(xj)≥vB(xj)-vA(xj)時，

|μA(xj)-μB(xj)|+|vA(xj)-vB(xj)|+|πA(xj)-πB(xj)|=2(μB(xj)-μA(xj))

②當(dāng)μB(xj)-μA(xj)≤vB(xj)-vA(xj)時，

|μA(xj)-μB(xj)|+|vA(xj)-vB(xj)|+|πA(xj)-πB(xj)|=2(vA(xj)-vB(xj))

③ 當(dāng)μC(xj)-μA(xj)≥vC(xj)-vA(xj)時，

|μA(xj)-μC(xj)|+|vA(xj)-vC(xj)|+|πA(xj)-πC(xj)|=2(μC(xj)-μA(xj))

④ 當(dāng)μC(xj)-μA(xj)≤vC(xj)-vA(xj)時，

|μA(xj)-μC(xj)|+|vA(xj)-vC(xj)|+|πA(xj)-πC(xj)|=2(vA(xj)-vC(xj))

由式(a)及①④可得：

vC(xj)-vA(xj)≥μC(xj)-μA(xj)≥

μB(xj)-μA(xj)≥vB(xj)-vA(xj)

由(c)及②③可得：

μC(xj)-μA(xj)≥vC(xj)-vA(xj)≥

vB(xj)-vA(xj)≥μB(xj)-μA(xj)

因此,

|μA(xj)-μB(xj)|+|vA(xj)-vB(xj)|+|πA(xj)-πB(xj)|≤

|μA(xj)-μC(xj)|+|vA(xj)-vC(xj)|+|πA(xj)-πC(xj)|

同理,

|μB(xj)-μC(xj)|+|vB(xj)-vC(xj)|+|πA(xj)-πB(xj)|≤

|μA(xj)-μC(xj)|+|vA(xj)-vC(xj)|+|πA(xj)-πC(xj)|

故SN2(A,C)≤SN2(B,C)。

□

3.3 加權(quán)正弦相似度測量公式的定義

加權(quán)正弦相似度測量公式定義如下：

μB(xj)|∨|vA(xj)-vB(xj)|∨|πA(xj)-

(9)

μB(xj)|+|vA(xj)-vB(xj)|+|πA(xj)-

(10)

當(dāng)論域X中的每一個元素的權(quán)重相同時，即wj=1/n,j=1,2,…,n，公式(9)和公式(10)就轉(zhuǎn)化為公式(7)和公式(8)。上述兩個加權(quán)正弦相似度測量公式滿足定義2中的四個條件，證明過程與3.2節(jié)相同。

4 直覺模糊集三角相似度測量公式比較

本節(jié)將通過幾組數(shù)值例子來對本文提出的正弦相似度測量公式與文獻(xiàn)[11-13]中的相似度測量公式進(jìn)行比較，通過對測量結(jié)果進(jìn)行分析比較來說明本文所提出的相似度測量公式的有效性和合理性。直覺模糊集A和B之間的相似度測量值如表1所示。

從表1中三角相似度測量的結(jié)果可以看出，文獻(xiàn)[11]中的余弦相似度測量公式C1(A,B)在第2組和第3組例子之間進(jìn)行相似度測量計(jì)算中出現(xiàn)

Table 1 Values of similarity measure between IFSs A and B

分母為零(無意義)現(xiàn)象，在第1組和第5組例子之間進(jìn)行相似度測量計(jì)算中出現(xiàn)不合理現(xiàn)象。文獻(xiàn)[13]中的公式CT1(A,B)在第1組和第6組例子之間相似度測量結(jié)果相同而出現(xiàn)無法區(qū)分現(xiàn)象。因此，上述現(xiàn)象將會給決策者在進(jìn)行決策時帶來不便。公式C2(A,B)、SN1(A,B)和SN2(A,B)在表1中具有較強(qiáng)的區(qū)分能力，但公式C2(A,B)計(jì)算過程相對復(fù)雜，相比之下公式SN1(A,B)和SN2(A,B)在實(shí)際應(yīng)用中更具有優(yōu)越性。

5 公式應(yīng)用

(1)醫(yī)療診斷。

現(xiàn)有診斷集合P={P1,P2,P3,P4}分別表示病毒性發(fā)燒、感冒、瘧疾和胃病問題。癥狀集合X={x1(發(fā)燒),x2(頭痛),x3(胃疼),x4(咳嗽)}。經(jīng)專家研究，得到如表2所示數(shù)據(jù)。

Table 2 Standard data of the four symptoms

現(xiàn)有一個病人，其癥狀的診斷結(jié)果Q為未知。設(shè)w={0.2,0.3,0.4,0.1}為癥狀集合中四個屬性的權(quán)重集。現(xiàn)用本文提出的加權(quán)正弦相似度公式進(jìn)行相應(yīng)診斷，并與文獻(xiàn)[11-13]中提出的相似度公式的診斷結(jié)果進(jìn)行對比，得到如表3所示結(jié)果。

Table 3 Diagnosed results of differentsimilarity measure methods

分析表3中的數(shù)據(jù)可知，對于加權(quán)余弦相似度公式WC1,W(P1,Q)=W(P2,Q)=0.9910>W(P4,Q)=0.9216>W(P3,Q)=0.9163，出現(xiàn)了兩個診斷結(jié)果的數(shù)值相等并且都是最大值，導(dǎo)致很難將診斷結(jié)果歸類到P1(病毒性發(fā)燒)還是P2(感冒)。而加權(quán)相似度公式WCT在進(jìn)行病人診斷結(jié)果識別時也出現(xiàn)了同樣情況，而使用相似度公式WC2和本文提出的加權(quán)正弦相似度公式WSN1和WSN2則能夠有效地區(qū)分，并把診斷結(jié)果Q歸類到P2，即病人患的疾病是感冒。但是，相似度公式WC2計(jì)算過程相對復(fù)雜，所以本文提出的加權(quán)正弦相似度公式在實(shí)際應(yīng)用中更具有優(yōu)越性。

(2)決策應(yīng)用。

本節(jié)將正弦相似度測量方法用于汽車發(fā)動機(jī)設(shè)計(jì)的備選方案選擇決策例子中，通過實(shí)驗(yàn)的結(jié)果來表明所提出的相似度測量公式的合理性。

在汽車發(fā)動機(jī)設(shè)計(jì)的初期，設(shè)計(jì)師提出了一組備選方案A={A1,A2,A3,A4}，分別代表柴油發(fā)動機(jī)、汽油發(fā)動機(jī)、純電力電動機(jī)和混合動力發(fā)動機(jī)。設(shè)計(jì)師對以上四種設(shè)計(jì)方案都是從屬性集X={x1,x2,x3,x4}來比較，x1：制造成本，x2:能源利用效率，x3：構(gòu)造合理性，x4：制造難易程度。為了評價(jià)備選方案的優(yōu)劣，專家給出了人們期望的設(shè)計(jì)方案A*，方案中的數(shù)據(jù)由專家給出。四種備選方案在屬性集X上用直覺模糊集模型分別表示如下：

A1={〈x1,0.9,0.1〉,〈x2,0.88,0.05〉,〈x3,0.9,0.1〉,〈x4,0.5,0.2〉}

A2={〈x1,0.9,0.1〉,〈x2,0.83,0.0〉,〈x3,0.65,0.1〉,〈x4,0.6,0.1〉}

A3={〈x1,0.6,0.1〉,〈x2,0.45,0.3〉,〈x3,0.6,0.1〉,〈x4,0.5,0.2〉}

A4={〈x1,0.5,0.2〉,〈x2,0.6,0.15〉,〈x3,0.55,0.2〉,〈x4,0.9,0.1〉}

A*={〈x1,0.8,0.0〉,〈x2,0.8,0.0〉,〈x3,0.8,0.0〉,〈x4,0.8,0.0〉}

設(shè)w={0.1,0.25,0.25,0.4}為四個屬性的權(quán)重集，在此用本文提出的公式(9)與公式(10)和公式(4)～公式(6)來計(jì)算備選方案和專家給出的期望設(shè)計(jì)方案之間的相似測量值，其相似度測量結(jié)果如表4所示。從相似度測量結(jié)果的排列順序可以看出A2是最佳設(shè)計(jì)方案。

6 結(jié)束語

目前已有許多基于直覺模糊集相似度測量公式被提出，但現(xiàn)有部分公式在處理某些特殊情況時會出現(xiàn)不合理現(xiàn)象和計(jì)算過程相對復(fù)雜問題，實(shí)際運(yùn)用效果較差。本文通過考慮隸屬度、非隸屬和猶豫度三方面的信息，首次提出兩種基于正弦函數(shù)的相似度測量公式，證明了其正確性，并通過與其它相似度計(jì)算公式進(jìn)行比較，表明了其優(yōu)越性。

Table 4 Values of similarity measure betweenIFSs A and A* and ranking orders

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