數學概念教學的八個“關注”

福建省福安市高級中學 陳 雄

數學概念是數學教學的核心內容，是數學知識的基礎，是萬木之本，百水之源，是進行判斷、推理、證明等邏輯思維的依據?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準》提出“學生能在情境中抽象出數學概念，積累從具體到抽象的活動經驗，把握事物的本質”。因此，關注數學的概念教學，提高教學效果是值得研究的。

一、關注核心素養，提升抽象概括能力

《普通高中數學課程標準》提出數學學科核心素養，其中，“數學抽象”位居首位，“數學抽象”指的是舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程。數學概念獲得的過程是最典型的數學抽象過程。例如：函數概念教學中給出三個生活實例：“炮彈射高”“臭氧層空洞”“恩格爾系數”，這三個實例分別展現了函數的三種形式：“解析式”“圖象式”“列表式”，提煉這三個實例的共性：三個實例變量之間存在著某種對應關系，最后抽象概括出“集合與對應”觀點的函數定義。

二、關注概念的來源，加強優秀傳統文化教育

著名數學家希爾伯特說過：“在每個數學分支中，那些最初、最老的問題肯定是源于經驗，是由外部的現象世界提出來的?！彼惴ǖ母拍罱虒W時，應介紹算法的來源，從數學發展的歷史來看，算法概念古已有之，算籌是中國古代的計算工具，在春秋時期已經很普遍，算盤在明代開始盛行，今天仍在使用，中國古代的割圓術、秦九韶算法都是很經典的算法。因此，算法教學中應讓學生了解中國古代數學的輝煌成就及對世界數學發展的貢獻，加強中華優秀傳統文化教育。

三、關注概念的定義方式，選擇合適的教學方法

數學概念的定義方式一般有關系定義法、發生定義法、歸納定義法、約定式定義法。 關系定義法，它是以被定義概念所反映的對象與另一對象之間的關系作為定義的方式，例如：若ab=N，則logaN=b（a＞0，a≠1）。發生式定義方法，它是以被定義概念所反映的對象產生或形成的過程下定義的，例如：“在平面內，一個動點與兩個定點的距離和等于定長（定長大于兩個定點的距離）運動所產生的軌跡叫橢圓?！标P系定義法、發生定義法在教學時應注重概念的產生過程，教學一般采用發現式、探究教學法，例如：橢圓概念教學時，請學生借助自制教具：木板、細繩、圖釘、鉛筆，同學合作按要求畫橢圓，同時配合多媒體演示畫橢圓，經歷知識的形成過程，積累感性經驗，讓學生通過觀察、討論、概括出橢圓的定義，這樣既獲得了知識，又培養了學生抽象思維的能力。歸納定義法，這是一種給出概念外延的定義法，例如：實數和虛數統稱為復數；橢圓、雙曲線和拋物線叫圓錐曲線等等，都是這種定義法。揭示外延的定義方法還采用約定的方法，因而也稱約定式定義方法，例如：a0=1（a≠0），0!=1。歸納定義法、約定式定義法在教學時一般采用講授式教學方法，應關注概念的合理性。

四、關注概念的內涵與外延，多方面理解概念

每個概念都有其基本條件，這就是內涵，只有正確理解分析條件，才能抓住概念的本質特征，防止條件不充分的錯誤。如學習二面角的平面角這一概念時，應引導學生總結三個基本條件：（1）頂點在棱上；（2）角的兩邊分別在二面角的兩個半平面內；（3）角的兩邊和棱垂直。同時，每個概念又有其所包含的內容，這就是概念的外延，這時，需抓住概念的表象特征，防止出現混淆不清的現象。例如：講解二面角的平面角時，應對其外延范圍［0，π］進行研究，防止受直線與直線所成角無鈍角這一事實所干擾。

五、關注聯系相近概念，增強記憶效果

事物之間是普遍聯系的，概念之間也是普遍聯系的。若按照一定規律加強或削弱條件，就可以形成一類新概念，如在四棱柱、直四棱柱、長方體、正四棱柱、正方體之間就存在密切的聯系。按照類比的思想考察概念的相似性，亦可學習新概念。如介紹二面角的概念，可采用類比法提問：平面幾何中，角是怎樣定義的？角是平面內的一點引出兩條射線所形成的圖形。若用空間的一條直線代替平面內的一點，過此直線的兩個半平面代替從平面內一點引出的兩條射線，這樣定義二面角，讓學生發現知識間的聯系與發展，有助于加深理解概念，增強記憶效果。

六、關注概念辨別對比，清晰概念本質

對于新知識的認識，開始階段往往并不深刻，甚至易混淆，發生錯誤或片面下結論，這需要教師清晰概念，具體做法就是通過思考解答一組與所學概念有關的辨析題來澄清模糊認識，排除錯誤觀念，正本清源，強化對概念的理解。例如：學習橢圓定義后，用以下填空題清晰概念：（1）到F1（-2，0），F2（2，0）的距離之和為6的點M的軌跡為_______。（2）到F1（-2，0），F2（2，0）的距離之和為4的點M的軌跡為_______。（3）到F1（-2，0），F2（2，0）的距離之和為3的點M的軌跡為__________。

七、關注構造反例，培養逆向思維能力

教材中，多以正面的例子幫助學生理解鞏固數學概念。教學過程中，若能用逆向思維構造反例，也是一種理解抽象的捷徑。在向量概念的教學中，學生往往停留在數量概念的認識，則可用如下判斷題：（1） 向量的模的取值范圍是（0，+∞）。（2）若都是單位向量，則（3）若則的方向相同。（4）若則以上判斷題可構造反例辨析，緊扣向量的相關概念，同時關注零向量，加深對概念的理解與記憶，培養逆向思維能力。

八、關注概念的應用，鞏固深化概念

由于數學概念具有高度抽象的特點，容易遺忘或者概念間交叉混淆，不易立刻達到牢固掌握的程度，所以鞏固概念是十分重要的，在古典概型概念教學時，學生往往會忽視古典概型的兩個特征，錯用古典概型概率計算公式，例如：一個家庭中有2個孩子，按性別列舉這兩個孩子的基本事件，并求都是男孩的概率。學生在列舉時往往誤認為（男，女），（女，男）是同一基本事件，忽略每個基本事件出現的可能性相等這一特點，以至認為都是男孩的概率是因此，在教學中應結合實例應用進行深入討論，加深對概念的理解。

總之，在數學概念教學中，必須關注概念的來源、表征、內涵、外延、對比、性質、應用，培養學生的抽象概括能力。

[1]中華人民共和國教育部制訂．普通高中數學課程標準（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社．

[2]楊廣娟．“數學抽象”核心素養的養成途徑[J]．中學數學（高中版），2017（4）：32-33．

[3]胡吉蔚．精致數學概念設計，提升數學抽象素養[J]．數學教學通訊，2017（3）：22-23．