做有意義的數學練習

浙江省麗水市慶元縣蔚文學校小學部 胡新強

數學練習是數學教學活動的重要組成部分，但我們習慣去重復流水線的數學練習，在難題上去提升知識點的應用，在重點練習上去猜測考點，而忽視數學練習本身的系統性價值，缺少對練習的深入理解。在設計上缺少目的性，在目標上缺少層次性，在操作上缺少多元性。有意義的數學練習應更關注知識鞏固、能力培養、思維訓練，從設計到操作，每個目標都要有落腳點。采取 “起點低而實，中有突破，后有發展”的思路設計數學練習系列。缺乏經歷知識形成過程的練習是難以鞏固的。有意義的數學練習當然更強調鞏固知識，每個數學練習必有其知識點或知識的本質在其中，把一些數學知識的形成過程用算式、語言、圖形等方式表示出來，特別是及時檢測每節課的知識是很有必要的。

例如“兩位數乘兩位數”與例題匹配的練習必須及時，做到理解算理，掌握算法。算法只是通法的統一和規范，而算理才是知識的本質。設計練習時讓學生再次獨立經歷算理過程是有必要的。如：“21×43”計算過程，設計匹配算理的練習：

一、數學練習的起點是知識的鞏固

1．關注知識的本質性

知識的鞏固是數學練習的起點，它是知識掌握過程中對所學材料的持久記憶，是積累知識的前提，有賴于領會和經歷知識的產生過程，

因此：21×43可以分為：21×（ ） + 21×（ ）=903。

再次經歷21×43的算理過程，即鞏固了兩位數乘兩位數的算理，又有對后續的乘法分配率、組塊計算等學習做準備的作用。

再如：在鞏固“平行四邊形”這個概念時，有效的數學練習應在平行四邊形的概念理解上，一直以來，我們直接在四邊形的圖形上去判斷是否為平行四邊形，而忽視平行四邊形知識的本質。平行四邊形是在幾組平行或相交線中抽象出來的，這個動態的概念理解，線到面的過程理解，經驗不夠豐富。如：請在圖中“勾畫”出平行四邊形，這樣的數學練習就可讓學生再次經歷平行四邊形的抽象過程。

2．關注知識的生長性

知識不僅有其內在的邏輯性，也具有生長性。知識的生長性表現為對知識的應用和提高，它是建立在對已有知識追其本質，不斷內化的基礎上的。知識的前后延長才能更有效地鞏固知識，拓寬知識點的數學練習就非常必要了。如教學筆算兩位數乘兩位數的難點是部分積的對位，這其實是算理理解仍有偏差或仍有認知的內化過程不足，必須跟上鞏固性練習，有效地把練習再次分類，促使知識不斷內化。

可見，把更多的時間花在“溫故”上，把知識本質理解透了，把握好數學練習的起點，扎實鞏固知識，保證知識的生長性，才能為新的知識產生做準備，這樣的數學練習才是有意義的。

二、數學練習的節點是數學能力的培養

克魯捷茨基在他的權威著作《中小學數學能力心理學》中從一般能力出發來研究數學能力：“從兩個方面來看待數學能力的概念：（1）看作創造性的能力——科學的數學活動方面的能力，這種能力能產生對人類有意義的新成果和新成就，對社會做出有價值的貢獻。（2）看作一般學習能力——學習數學的能力，迅速而順利地掌握適當的知識和技能的能力。

數學練習的目的是鞏固知識，不是增加知識點，也不是延長教學時間，而是以堅持數學能力培養為重。筆者所理解的數學練習的“節點”是數學練習的過程，在練習中形成數學能力，練習時在知識應用的深度、廣度、靈活度上有所拓展，有意義的數學練習過程應突顯數學能力的培養。

1．過程與能力

讓學生在數學學習活動中去經歷過程，例如：“用一張正方形的紙制作一個無蓋的長方體，怎樣使得體積較大？用一張長方形紙作為圓柱的側面，怎樣做圓柱體積大？在這樣的數學活動過程中，學生不僅能夠獲得知識，而且不斷豐富數學活動經驗，學會探索，發展數學能力。

數學練習或數學作業不一定是當天完成的，時間長短不是問題，數學不一定是做的，也可以是讀的。數學科普、數學繪本、數學故事書，多一些數學閱讀，也是增強數學素養的一種方式，更是一種數學能力。獲取數學知識的過程時間可以長，范圍可以廣，方式可以靈活多樣，這樣獲取數學練習的過程就是數學能力形成的過程。

2．思想、語言與能力

數學練習不能只關注練習的答案表示，也要關注獲得答案表現出的各方面能力，比如數學思想、數學語言，讓學生充分表達解決問題所表現出的各種能力。如：北師大《摸球游戲》這一課，筆者在課前設計了一道題：1+（ ）=?既預習“不可能、可能、一定”等概率描述方式，又感知可能性有大小之分。如：這個式子可能等于1、2、3…,在未知負數的前提下，這個得數“一定”大于或等于1，再得出大于1的“可能性比較大”。這個過程其實已有感知到概率與事件樣本有關。學生在描述前必須舉個例子，給定條件解釋，給定樣本，讓學生充分感知事件的變化所帶來的概率變化，并養成良好的數學語言表達能力。

在“分數的認識”這一課，設計一個隨機分近似1/2的圖形，問：陰影部分能不能用1/2表示？不但鞏固了1/2的產生過程，而且關鍵是能培養學生辯證的數學能力，用“如果…就…”等句子來辨析自己的思考：如果陰影和空白部分面積相等，就可以用1/2表示陰影部分占總面積的關系。在數學中，辯證的數學能力是相當重要的，這樣可以排除學生的一些偏差數學認識，養成嚴謹的數學思考習慣，在數學練習中要經常去挖掘這樣的練習素材，讓練習賦予數學能力提升的價值。

三、數學練習的亮點是思維的訓練

1．數學的思維表達

數學練習的思維量往往成為其亮點，數學練習在內容上要盡量設計一些思維含量高的題目，也要做到盡量去挖掘普通題的數學價值、思維價值，做到一題多角度看、一題變式練，讓學生充分享受題目帶來的數學思維過程。教師要學會挖一挖題目數學意義的深度和角度，想一想題目的數學價值，做一做題目的數學思維過程。教師要有敏銳的數學觀察，靜一靜、等一等、試一試，讓學生在時間和空間上有機會去做一些有意義的數學練習。

2．思維的數學表達

數學對人思維方式的訓練是其他任何學習所不具備的。數學思維方式的特點就是將具體的問題歸結為模式化的數學問題，并用數學的方法尋求解決，它幫助我們透過具體的、表面的現象，揭示事物的本質的、共同的特征。

比如極限的思想，在小學階段，學生很難去表達該思維過程，只可意，會不可言傳。在學習過程中，從學生已有知識出發，促進數學思考，加強數學方法訓練，提高學生的思維品質。學生平時在一起玩的時候，經常愛說我有“多少多少”，比你的大。在這個過程中，學生總想說比別人更大的數，如“我有1億”，億是他知道的最大的計數單位，我說：我有1億+1，比你多。在這樣拌嘴的過程中，學生慢慢理解了沒有最大的數，也沒有最小的數，如果要提最大最小的數，一定要加一個范圍。這樣的思維方式在數學學習中大有例子，如何讓學生用數學的方式去表達自己的思維過程，這需要我們在設計數學練習時有意滲透，多利于學生在思維品質提高的練習上下工夫，做好設計有意義的數學練習的功課。

數學學習過程中，思維表達方式或是通過形體動作，或是通過語言，或是通過圖畫、文字、符號。學生只有將數學學習過程中的思維外化表達，才能“出乎于內，入乎其中”，真正理解數學知識、構建數學模型。僅會思維，不會表達，思維沒有外化，久而久之，知識就會模糊。會數學思維，會數學表達，兩種缺一不可。

總之，有意義的數學練習首先要目標明確，為達到目標而服務；其次要有整合的意識，盡可能挖掘其多層的內涵，根據需要向多維拓展，還要有一定的教學機智，組織學生更好地思考。在數學練習過程中促進數學思考，促進智慧生長。

【參考文獻】

[1]張景中．數學家的眼光[J]．北京：中國少年兒童出版社，2007（8）．

[2]史寧中、孔凡哲．“數學教師的素養”對話錄[J]．人民教育，2008（21）．