詩意數學
——直線的斜率

江蘇省常州高級中學 丁明明

只要我們用心體會，生活中無處不透露著數學之美。數學來源于生活，以生活為出發點，讓數學插上詩意的翅膀，不僅可以讓原本抽象難懂的數學充滿詩意、趣味，也可以讓我們用更具體的意向來理解數學中的公式、內容。 筆者以“直線的斜率”這堂課為例，課堂加入詩的意境，讓課堂更加活潑開放，在詩情畫意中感受思維的內涵，體會數學之美。

開場白：數學充滿理性，詩歌卻是滿滿的感性，若能兩者結合，將是一種完美的呈現，正如我的學生每天打開作業本的時候就像是打開一扇窗戶，感覺面朝大海，春暖花開。

看似毫不相干的兩個東西，如果我們將它放在一起，或許能創造出驚人的魅力。正如數學中的代數與幾何，在很久以前它們就像是兩個不相干的人，各自獨立存在著，而在笛卡爾與費馬之后，兩者真正走到了一起。

一、問題情景

1.情景：

我鎖定一個_______，

它和我連成_______ 。

前面有許多的河，

讓我不得不轉彎。

那邊還有許多山，

忽高忽低讓我難，

誰知還有多少難，

無可奈何向前看。

師：將這首詩補充完整，兩處空格應該填什么呢？

生：方向、直線。

師：人生之路要達到目的地，最快的就是走直線，而走直線最好的方法就是瞄準方向。

師：今天這堂課就和大家一起來研究直線的方向。

2.問題：直線有哪些不同的方向呢？

我們到底用什么量來刻畫直線的陡峭程度呢？

二、學生活動

問題1：觀察類比：如右圖所示，兩個不同的樓梯，如何表示它們的坡度?

通過展示樓梯的圖形，讓學生有一個感性認識，體驗坡度是由什么來確定的。

學生2：可以用角度：角度越大，坡越陡。

師：這兩種方式都非常好，這正好體現了兩種不同的人生態度與追求方式。用角度：每一次仰望星空，都是為了追問心靈的方向。用比值：只有腳踩大地，我們才能感受到生命的溫度。

問題2：我們可以測量有限的空間，那么無限的空間里，我們如何把握呢？我們如何在平面直角坐標系中去衡量呢？

三、建構數學

師：當我們給出一個定義的時候，我們需要注意幾個問題：它合理嗎？（不能自相矛盾）它全面嗎？（不能有漏網之魚）它準確嗎？（不能模棱兩可）

1．直線的斜率

定義：已知兩點P（x，y），Q（x2，y2）， 如果x1≠x2，那么直線PQ的斜率為：

注意：與x軸垂直的直線，其斜率不存在。

2．概念辨析

思考：斜率是一條直線的傾斜程度的數量化，是直線本身固有的性質，但是斜率可以由直線上兩點的坐標給出，那么斜率公式與這兩點的順序是否有關？與直線上兩點的位置選擇是否有關？為什么？

引導學生思考并回答：（1）通過斜率公式本身來理解；（2）通過相似三角形來理解。

3．直線的傾斜角

（1）定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸所在直線繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉過的最小正角稱為這條直線的傾斜角，并規定：與x軸平行或者重合的直線的傾斜角為0°。

（2）范圍：α∈[0°，180°）。

四、數學運用

例1 直線l1，l2，l3都經過點P（3，2），又l1，l2，l3分別經過點 Q1(-2，-1)，Q2（4，-2），Q3（-3,2）。試計算直線 l1，l2，l3的斜率。

點評：（1）本例意在鞏固斜率公式；（2）k＞0，k＜0，k=0及k不存在時直線的形狀，讓學生通過畫圖體驗數形結合。

探究問題：觀察各直線的特點，你能說說各直線的方向與它的斜率的關系嗎？為什么？

引導學生回答：當k＞0時，直線從左下到右上傾斜；當k＜0時，直線從左上到右下傾斜；當k=0時，直線與x軸平行或者重合。可從斜率公式本身解釋。

師：做到這里我們不禁想到：橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層。

探索：斜率和傾斜角都能反映一條直線的傾斜程度，其中斜率側重于“數”，傾斜角側重于“形”，那么它們之間的關系怎樣？

分直線的傾斜角為銳角（見圖1）和直線的傾斜角為鈍角（見圖2），啟發學生利用斜率的定義發現：k=tanα（注：tan（180°-α）=tanα）

點評：（1）直線的傾斜角α是角且總是存在的，范圍是0°≤α＜180°，而直線的斜率k是實數但未必總是存在的。

（2）①當α≠90°時，k=tanα；②當α=90°時，k不存在；③當α=0°時，k=0；④當α為銳角時，k＞0且k隨α的增大而增大；⑤當α為鈍角時，k＜0且k隨α的增大而增大。

師點評：天下同歸而殊途，一致而百慮。

例2 如右圖，比較四條直線斜率的大小：

五、回顧小結

1.經過兩點的斜率計算公式；

2.直線傾斜角的概念；

3.直線的斜率與傾斜角的關系。

直線的斜率為蘇教版解析幾何的第一堂課，所以這堂課也是學生對于解析幾何認識的開始。

對于這堂課，筆者有如下思考：

1.詩意數學，那是感性與理性的碰撞，而解析幾何正是數和形的完美結合，要讓學生感受到詩的意境，但同時不會忘記，這是一堂數學課，學生最終要收獲的是數學知識與數學思維能力。所以整堂課的主要脈絡是以數學知識構建為線索展開的，詩意可以看作是一種語言。

2.以一首詩為切入點，引出直線與方向，以一種生動活潑的形式進入這堂課的主題，讓學生充滿好奇與期待。在選擇直線方向的時候，利用生活的意境進行引入，從具體到一般抽象出一般性問題。而這堂課的主要脈絡是傾斜角與斜率兩條脈絡，這兩條脈絡筆者解釋為仰望星空與腳踏實地兩種不同的方式，既是一種類比，也是角度的不同，選擇故而不同，而兩者的聯系正是數和形的結合，也正是兩種不同姿態的需求。

3.對于數學知識方法的總結可以利用詩句的意境進行類比體會，用一種更為豐富的語言進行詮釋，更能體會數學的意境所在，同時也更好地說明了數學與生活的緊密相連。整堂課似乎在說詩，但其內涵都是數學，讓數學更加豐富、更加魅力。

總而言之，數學之美無窮無盡，如果我們帶著審美的姿態去學數學、教數學，不僅能夠讓學生感受數學的魅力，也是在體會數學的精髓，詩意數學只是一種小小的嘗試，數學的博大需要我們一直去探索。