兩個角度判定等差數列

張 鋒

數列是高考考查的一個重要知識點.填空題多以等差數列或等比數列為載體，以基本量的計算為主，考查同學們的數學運算能力.解答題也總是與等差數列或等比數列相關，考查同學們的數學運算能力和邏輯推理能力.在解答題的考查中，往往既有等差數列或等比數列的判定與論證，又有對它們性質的深入挖掘（如子數列、遞增遞減數列、有界數列等），綜合性很強.所以等差數列或等比數列的判定成了解決問題的“敲門磚”，同時也是我們拿到基本分的保障.

判定一個數列｛an｝是等差數列的基本方法有兩種.（1）定義法：證明an＋1-an＝d是常數（n∈N*）；（2）等差中項法：證明2an＋1＝an＋2＋an（n∈N*）.在解填空題時，可用通項公式或前n項和公式直接判斷.（1）通項法：｛an｝是等差數列 ?an＝An＋B（A，B是常數）；（2）前n項和法：｛an｝是等差數列 ?Sn＝An2＋Bn（A，B是常數），但這兩個方法不能作為解答題中判定的依據，需要回到定義證明.下面結合幾個例題，談談如何尋找解決這類問題的突破口.

方法一：定義法

例1 若各項均為正數的兩個數列｛an｝和｛bn｝滿足n∈N*，且a1＝b1＝1.

（2）求數列｛an｝，｛bn｝的通項公式.

分析本題改編自2012年江蘇高考數列題，題目中的數列｛an｝和｛bn｝相互影響，關系式結構復雜，給大家造成題目難度較大的錯覺.觀察條件中給出的兩個等式的特征是尋求思路的關鍵.由于條件以及目標數列中都涉及因此在中構造關于的表達式是本題一個可能的思路，而右式又是關于an，bn的一次分式，可化為的形式，這就找到了關于的相鄰兩項間的關系，為定義法證明等差數列提供了保障.

（1）方法一證明：因為且數列｛a｝和｛b｝各項均為正數，

方法二證明：因為所以

故對任意n∈N*都有

點評這類問題的證明，命題老師往往會為我們指明方向，直接構造問題中數列的結構是解決問題的關鍵，如果尋求到的是相鄰兩項間的關系，那么常常用定義法來證明.

注意：同學們要特別注意解題過程中n的取值范圍，并判斷定義式是否是從第2項與第1項的差開始.如果是，則直接得出結論；如果不是，需要單獨說明a2-a1也等于這個常數.

方法二：等差中項法

例2設各項均為正數的數列｛an｝和｛bn｝滿足5an，5bn，5an＋1成等比數列，lgbn，lgan＋1，lgbn＋1成等差數列，且a1＝1，b1＝2，a2＝3.

（2）求數列｛an｝，｛bn｝的通項公式.

分析題干條件仍然給出的是數列｛an｝和｛bn｝相互間的關系，但證明目標與例1并不相同，我們應在相互關系中力求消去an，保留只含有bn的關系式.發現尋找到的是關于bn相鄰三項間的關系，為等差中項法證明等差數列提供了方便.等差中項法同樣需要注意解題過程中n的取值范圍，并判斷關系是否是從2a2＝a1＋a3開始.如果是，則直接得出結論；如果不是，需要單獨說明2a2＝a1＋a3.

（1）證明：因為5an，5bn，5an＋1成等比數列，故 （5bn）2＝5an·5an＋1，即2bn＝an＋an＋1.

因為lgbn，lgan＋1，lgbn＋1成等差數列，故2 lgan＋1＝lgbn＋lgbn＋1，即（an＋1）2＝bn·bn＋1.

因為bn＞0，所以.因為a1＝1，b1＝2，a2＝3，

有時問題題干還會給出an與Sn或者Sn與Sn＋1等之間的關系，求證數列｛an｝是等差數列.這時往往先利用兩式相減消去Sn，得到數列｛an｝相鄰項間的關系，再利用定義法或者等差中項法證明.

例3設數列｛an｝的前n項和為Sn.已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且（5n-8）Sn＋1-（5n＋2）Sn＝An＋B，n∈N*，其中A，B為常數.

（1）求A，B的值；

（2）求證：數列｛an｝是等差數列.

分析（1）A＝-20，B＝-8（過程略）.

（2）證明：由（1）得（5n-8）Sn＋1-（5n＋2）Sn＝-20n-8，①

所以（5n-3）Sn＋2-（5n＋7）Sn＋1＝-20n-28，②

② - ① 得：（5n-3）Sn＋2-（10n-1）Sn＋1＋（5n＋2）Sn＝-20，

即（5n-3）（Sn＋2-Sn＋1）-（5n＋2）（Sn＋1-Sn）＝-20，

故（5n-3）an＋2-（5n＋2）an＋1＝ -20，③

所以（5n＋2）an＋3-（5n＋7）an＋2＝ -20，④

④ - ③ 得：（5n＋2）an＋3-（10n＋4）an＋2＋（5n＋2）an＋1＝0.

因為5n＋2＞0，所以2an＋2＝an＋3＋an＋1.

又因為2a2＝a1＋a3，

所以2an＋1＝an＋an＋2，n∈N*，

所以數列｛an｝是等差數列.

點評本題數據貌似復雜，其實對證明｛an｝是等差數列影響并不大（事實上A與B無需求出也可證明），我們只需根據目標將Sn轉化為an，即利用an＝Sn-Sn-1（n≥2）即可.②式減去①式的初始效果是等號右邊由一次式變成了常數，要想真正達到消去Sn的目的，Sn與Sn＋1的系數需要相同，所以要對系數進行適當配湊.本題末尾得到的2an＋2＝an＋3＋an＋1并不包含2a2＝a1＋a3，必須單獨說明，才能得到數列｛an｝是等差數列的結論.

從上述例子我們不難看出，等差數列的判定只是數列問題的“墊腳石”，是后續問題研究的保障.命題老師并不會在此問題上過分為難大家，大家只要抓住這兩個基本方法，同時緊扣目標數列的結構，問題一定會迎刃而解的.