“不都”or“都不”？

王愛軍

對“三個實數a，b，c都相等”進行否定，結果為“a，b，c不都相等”還是“a，b，c都不相等”呢？你曾經產生過這樣的糾結嗎？不少同學對“不都”和“都不”的意義混淆不清，導致在解題時產生錯誤．那么我們如何正確理解它們呢？首先，我們必須要弄清楚以下的結論：

（1）含有一個量詞的全稱命題的否定，若全稱命題p：?x∈M，p（x），則它的否定┐p：?x∈M，┐p（x）．全稱命題的否定是存在性命題．

（2）含有一個量詞的存在性命題的否定，若存在性命題p：?x∈M，p（x），則它的否定┐p：?x∈M，┐p（x）．存在性命題的否定是全稱命題．

一般地，量詞“都”表示全部，無一例外，含有量詞“都”的簡單命題是全稱命題．“都不”表示全不，即一個也沒有，含有“都不”的簡單命題其本質上依然是全稱命題．而“不都”表示不是全部，即至少存在一個不是，包含一部分不是或者全部不是，它是對量詞“都”的否定，因此，含有“不都”的簡單命題也通常可以理解為存在性命題．

簡而言之，含“都不”和“不都”的簡單命題有如下區別和聯系．

聯系：“不都”和“都不”都表明至少存在一個不是．

區別：（1）“不都”是“都”的否定，“不都”表明可能局部不是，亦有可能全部不是，其包含“都不”這一特殊情況，即“都不”是“不都”的子集；

（2）含有“都不”的簡單命題其本質上依然是全稱命題，含有量詞“不都”的簡單命題通常是存在性命題．

一、“不都”與“都不”在常用語與數學邏輯用語中的意義辨析

例1（1）本次學科競賽獲獎者不都是我們班的．

（2）本次學科競賽獲獎者都不是我們班的．

辨析（1）作為常用語“本次學科競賽獲獎者不都是我們班的”的理解常常帶有暗示大多數學科競賽獲獎者都是我們班的，僅有少數不是我們班的；但從數學邏輯用語的角度準確理解這句話，應包含“部分是我們班的”或“全部不是我們班的”．（2）對“本次學科競賽獲獎者都不是我們班的”的理解在常用語與邏輯用語兩方面意義相同，沒有歧義．因此我們應注意常用語理解的片面性、不準確性，學會利用數學邏輯知識準確嚴密地理解一個命題．

二、含有“都”的簡單命題的否定

例1請寫出下列命題的否定：

（1）所有小貓都喜歡吃魚；

（2）小貓不都喜歡吃魚；

（3）所有小貓都不喜歡吃魚．

解（1）否定：并非所有小貓都喜歡吃魚，即有的小貓不喜歡吃魚．

（2）“小貓不都喜歡吃魚”即“有的小貓不喜歡吃魚”，其否定：所有小貓都喜歡吃魚．

（3）否定：并非所有小貓都不喜歡吃魚，即“有的小貓喜歡吃魚”．

點評含“都”、“都不”的簡單命題是全稱命題，含“不都”的簡單命題是存在性命題，認識到這一本質是順利寫出其否定的前提和關鍵．

三、含有“都”且帶語氣助詞的命題的否定

例2寫出命題“全等三角形一定都相似”的否定．

錯解1全等三角形不一定都相似．

錯解2全等三角形一定都不相似．

點評有的同學認為“一定都”的否定是“不一定都”，其實“不一定都相似”包含了“都相似”與“不都相似”兩類，其意思表達比較模糊，沒有給出明確論斷，因此它不能作為原命題的否定．對“全”、“都”的否定，只要在前面加一個“不”．而“一定”是一個語氣助詞，帶強調意味，這兩者有一定區別．在對“一定”、“一定都”等否定時，可分兩步進行，先將“一定”兩字拿掉，對剩下的命題進行否定，再將“一定”兩字放在“不”的前面．本題正解：全等三角形一定不都相似．

四、隱含“都”的命題的否定

例3寫出命題“負實數的相反數是正實數”的否定．

錯解負實數的相反數不是正實數．

點評命題“負實數的相反數是正實數”是隱含“都”的命題，理解這個命題時我們首先應該補全被省略的量詞，以便準確把握命題的本質，其完整表達應是“所有負實數的相反數都是正實數”．因此這個命題是全稱命題，其否定就應該是存在性命題了，我們不能簡單地將“是”改成“不是”草草了事，還應該注意量詞的改變，因為錯解“負實數的相反數不是正實數”實際上依然是一個全稱命題，即“所有負實數的相反數都不是正實數”，其不合理性就顯而易見了．本題正解：并非所有負實數的相反數都是正實數，即“有的負實數的相反數不是正實數”．

“不都”，還是“都不”？關鍵是洞穿其本質，然后只要按照存在性命題和全稱命題的知識按部就班地處理，問題就迎刃而解了．