一元二次方程應(yīng)用題的幾類(lèi)經(jīng)典題型

摘要：列一元二次方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是：弄清已知量與未知量，分清它們之間的數(shù)量關(guān)系，從而將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程模型，本文舉例說(shuō)明列一元二次方程解應(yīng)用題的幾類(lèi)常見(jiàn)的典型題目。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用題；增長(zhǎng)率；利潤(rùn)；探索；數(shù)字問(wèn)題

列一元二次方程解應(yīng)用題是中考的重點(diǎn)內(nèi)容，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)二次函數(shù)的基礎(chǔ)，要認(rèn)真地審清題意，弄清已知量與未知量，分清它們之間的數(shù)量關(guān)系，尋求隱含的相等關(guān)系。假設(shè)未知數(shù)分直接假設(shè)和間接假設(shè)，應(yīng)根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系正確設(shè)出未知數(shù)。現(xiàn)就列一元二次方程解應(yīng)用題中遇到的常見(jiàn)幾類(lèi)的典型題目，舉例說(shuō)明。

一、 增長(zhǎng)率問(wèn)題

【例1】為了進(jìn)一步發(fā)展水利工程，服務(wù)農(nóng)業(yè)，自2015年以來(lái)，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)加大了水利工程經(jīng)費(fèi)的投入，2015年經(jīng)費(fèi)6000萬(wàn)元，2017年水利工程經(jīng)費(fèi)8640萬(wàn)元。假定該鎮(zhèn)這兩年投入水利工程經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率相同。

（1）求這兩年投入水利工程經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率；

（2）如果該鎮(zhèn)水利工程經(jīng)費(fèi)的投入還將保持相同的年平均增長(zhǎng)率，請(qǐng)你預(yù)算2018年該鎮(zhèn)投入水利工程經(jīng)費(fèi)多少萬(wàn)元？

解：（1）設(shè)這兩年投入水利工程經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x，由題意得

6000（1+x）2=8640，解得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）。

答：該這兩年投入水利工程經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為20%；

（2）8640×（1+0.2）=10368（萬(wàn)元），

答：2018年該鎮(zhèn)投入水利工程經(jīng)費(fèi)10368萬(wàn)元。

二、 商品的利潤(rùn)問(wèn)題

【例2】某商場(chǎng)準(zhǔn)備進(jìn)一批服裝，單價(jià)40元。經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷(xiāo)售定價(jià)為52元時(shí)，可售出180件，定價(jià)每增加1元，銷(xiāo)售量?jī)魷p少10件；定價(jià)每減少1元，銷(xiāo)售量?jī)粼黾?0件。因受庫(kù)存的影響，每批次進(jìn)貨件數(shù)不得超過(guò)180件，商場(chǎng)若想獲利2000元，則應(yīng)進(jìn)貨多少件？定價(jià)為多少元？

解：設(shè)每件商品的定價(jià)是x元，由題意得（x-40）[180-10（x-52）]=2000，整理得x2-110x+3000=0，解得x1=50，x2=60。當(dāng)x=50時(shí)，進(jìn)貨件數(shù)為180-10×（50-52）=200>180，不符合題意，舍去；當(dāng)x=60時(shí)，進(jìn)貨件數(shù)為180-10×（60-52）=100<180，符合題意。

答：當(dāng)該服裝每件定價(jià)為60元時(shí)，進(jìn)貨100件，可獲利2000元。

三、 列一元二次方程解決與幾何圖形有關(guān)的問(wèn)題

【例3】如圖，某小區(qū)有一塊長(zhǎng)40m、寬32m的長(zhǎng)方形地塊要種植花圃，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫各修建一條等寬的小路，要使種植面積為1140m2，求小路的寬。

解：設(shè)小路的寬為xm，依題意有

（40-x）（32-x）=1140，

整理，得x2-72x+140=0。

解得x1=2，x2=70（不合題意，舍去）。

答：小路的寬應(yīng)是2m。

說(shuō)明：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，應(yīng)熟記長(zhǎng)方形的面積公式。另外求出4塊種植地平移為一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬是解決本題的關(guān)鍵。

四、 探索存在問(wèn)題

【例4】將一條長(zhǎng)為20m的圍欄分成兩段，并以每一段圍欄的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)做成一個(gè)正方形。

（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于13m2，那么這段圍欄剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是多少？

（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于11cm2嗎？若能，求出兩段圍欄的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：（1）設(shè)剪成兩段后其中一段為xm，則另一段為（20-x）m。

則根據(jù)題意，得x42+20-x42=13，解得x1=12，x2=8，

當(dāng)x=12時(shí)，20-x=8，當(dāng)x=8時(shí)，20-x=12，

答：這段圍欄剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是8m和12m。

（2）不能。理由是：不妨設(shè)剪成兩段后其中一段為ym，則另一段為（20-y）m。則由題意得y42+20-y42=11，整理，得y2-20y+112=0，移項(xiàng)并配方，得（y-10）2=-12<0，所以此方程無(wú)解，即不能剪成兩段使得面積和為 11m2。

五、 數(shù)字問(wèn)題

【例5】有一個(gè)兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和是8。把這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互換后得到另一個(gè)兩位數(shù)，兩個(gè)兩位數(shù)的積為1612。求新的兩位數(shù)。

解：設(shè)新的兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為8-x。

依題意得：（10x+8-x）[10（8-x）+x]=1612，

解得 x1=2，x2=6，

當(dāng)x=2時(shí)，8-x=6，新的兩位數(shù)是62；當(dāng)x=6時(shí)，8-x=2，新的兩位數(shù)是26。

答：新的兩位數(shù)是26或62。

綜上所述，列一元二次方程解應(yīng)用題要認(rèn)真審題，關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，可以通過(guò)關(guān)鍵詞語(yǔ)尋找，也可以通過(guò)學(xué)過(guò)的公式、規(guī)律尋找；要?dú)w納解決實(shí)際問(wèn)題的一般歩驟，體會(huì)方程的建模思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用；求出未知數(shù)的值后，要注意檢驗(yàn)求出的未知數(shù)的值是否符合實(shí)際意義。

作者簡(jiǎn)介：

李志若，福建省泉州市，泉州師范學(xué)院附屬鵬峰中學(xué)。endprint