三自由度直升機系統自適應模糊H∞混合靈敏度魯棒控制*

李亞帥， 邵宗凱

(昆明理工大學 信息工程與自動化學院，云南 昆明 650500)

0 引 言

三自由度直升機是一種雙引擎，雙旋翼縱列排布的直升機機型。由于其飛行速度較快，運載量大，環境適應能力強并且可以垂直升降的優點，在軍事戰爭中起到極其重要的輸送作用[1]。針對三自由度直升機系統的特點，作為控制理論的優良研究平臺，近年來備受相關學者的青睞。Ahsene Boubakir設計了一種自整定PID控制器[2]；Madhumita Pal運用離散二階滑模觀測器對狀態和未知輸入估計進行了討論[3]；Liu Hao等人設計了一個位置和姿態魯棒控制器[4]；曾誠進行了離散動態分析[5]。

本文提出了一種將自適應模糊 混合靈敏度魯棒控制方法，并在三自由度直升機系統上進行了在線實驗。

1 三自由度直升機系統的結構組成和模型建立

1.1 結構組成

三自由度直升機系統主要由底座、支撐桿、平衡桿、旋轉節點、平衡塊、2個無刷電機、前后2個固定螺旋槳翼、直升機本體、集電環和數據采集卡組成。其結構如圖1所示。

圖1 三自由度直升機結構

通過控制無刷電機電壓，驅動改變前后2個螺旋槳的轉速，從而使直升機本體圍繞高度軸、俯仰軸和旋轉軸進行轉動。集電環和數據采集卡安裝在底座部位，保證直升機的轉動不受影響。

1.2 機理模型

三自由度直升機的運動特性是圍繞3個旋轉軸根據牛頓力學原理分別建立微分方程進行描述[6]。

當前后2個螺旋槳產生的升力之和大于直升機本體的重力時，直升機向上運動，反之向下運動。當前后2個螺旋槳產生升力差時，直升機本體圍繞俯仰軸進行俯仰轉動。直升機在俯仰運動時所產生的水平分量將產生一個力矩使本體圍繞旋轉軸轉動。

高度軸

(1)

俯仰軸

(2)

旋轉軸

(3)

2 控制器設計

2.1 自適應模糊控制器設計

對于給定的n階非線性系統

(4)

式中x∈R為輸入；y∈R為輸出；u為控制律；f和g為非線性函數[7]。

設理想輸出為ym，令

e=ym-y=ym-x,e=(e,e1,e2,…,e(n-1))T

(5)

選取K=(kn,k(n-1),…,k1)，確保多項式s(n)+k1s(n-1)+…+kn的根都在復平面的左平面上。選擇轉動角度的控制律

(6)

由式(4)和式(6)得到閉環控制系統的方程

e(n)+k1e(n-1)+…+kne=0

(7)

若f(x)和g(x)已知，由于外界隨機擾動和系統存在未知參量，轉動角度的控制律較難實現，由文獻[8]提出的萬能逼近定理，可以用模糊系統(x|θf)和逼近f(x)和g(x)，θf和θg為構造的模糊集。采用以下步驟進行模糊系統的構造：

1)對變量xi(i=1,2,…,n)，定義pi個模糊集合Ali(li=1,2,…,pi)。

(8)

(9)

(10)

(11)

采用模糊系統逼近f和g，控制律(6)變為

(12)

引入模糊向量η(x)，則有

(13)

設計如下自適應律

(14)

(15)

式中γ1和γ2為正常數。

將式(12)帶入式(4)，可得到如下模糊控制控制系統的閉環動態方程

(16)

令

(17)

則動態方程(16)可以寫作向量式

(18)

設置最優參數為

(19)

(20)

式中Ωf和Ωg分別為θf和θg的集合。

定義最小逼差誤差為

(21)

由式(13)、式(18)和式(21)可得閉環系統的動態方程

(22)

定義Lyapunov函數

(23)

式中γ1和γ2為正常數;P為一個正定矩陣且滿足Lyapunov方程

ΛTP+PΛ=-Q

(24)

式中Q為任意n×n的正定矩陣;Λ已由式(17)給出。取

(25)

(26)

(27)

令

(28)

則式(22)變為

(29)

(30)

即

(31)

將自適應律式(14)和式(15)代入式(31)，得

(32)

2.2 H∞混合靈敏度魯棒控制

2.2.1混合靈敏度

三自由度直升機系統的狀態方程為[9]

(33)

標準H∞控制問題為通過設計一個控制器K(s)使得廣義被控對象G(s)穩定，且某特定和的閉環性能指標H∞范數取得極小值[10]。問題描述如圖2所示，圖中的w(s)為外部輸入信號，u(s)為控制輸入信號，y(s)為觀測量，z(s)為被控輸出信號。

圖2 標準H∞控制

H∞混合靈敏度魯棒控制的描述如圖3所示。圖中人r為參考輸入，e為跟蹤誤差，u為控制輸入，d為干擾輸入，y為系統輸出，WS為性能加權函數，WR為控制器輸出加權函數，WT為魯棒加權函數。

圖3 H∞混合靈敏度魯棒控制

從參考輸入r到跟蹤誤差e、控制輸入u和系統輸出y的閉環傳遞函數定義為

S(s)=(I+L(S))-1

(34)

R(s)=K(s)(I+L(s))-1

(35)

T(s)=I-S(s)

(36)

式中S(s)為靈敏度函數；T(s)為補靈敏度函數；R(s)為控制靈敏度函數；I=S(s)+T(s);L(s)=G(s)K(s)。

靈敏度函數S(s)的H∞范數越小，控制系統抑制干擾信號的能力就越強；補靈敏度函數T(s)的H∞范數越小，控制系統的魯棒性就越強[11]。而S(s)和T(s)互相矛盾，一者小，另一者就會大，為了選取合理的靈敏度函數，一般要求

(37)

2.2.2加權函數的討論

H∞魯棒控制理論是依托于頻域衍生而來，由伯德積分定理可知，很難在各個頻段選擇統一的指標，來保證控制系統既能較好地跟蹤控制信號增加系統的抑制未知擾動的能力，又能增加控制系統的穩定魯棒性[12]。這就要求矛盾加權函數的折中，性能指標進行重塑，尋求到最優控制系統[13]。

為了保證系統能抑制存在于低頻段的干擾信號，使系統能夠有較強的抗干擾能力，一般WS在低頻段有較大的幅值。模型的未知函數一般由忽略高頻特征引起，故在高頻段必須保證WT幅值較大[14]。在確定了WS和WT后，WR一般選取適當的常數，保證在中頻段，控制系統有較強的穩定性和魯棒性。

3 實驗和結果分析

取以下5種隸屬函數

用于逼近的模糊規則有25條，隸屬度函數如圖4所示。

圖4 xi的隸屬度函數

為了保證控制系統有較強的穩定性和魯棒性的同時，在較大帶寬內減少維數，保證信號的正常跟蹤，對于加權函數的選擇為

WR(s)=10-5

性能加權函數WS(s)和魯棒加權函數WT(s)的奇異值如圖5所示。從圖中可以看出：WS(s)在低頻段有較大的奇異值，即在低頻段WS(s)起主導作用，系統有較強的抗干擾能力；WT(s)在高頻段有較大的奇異值，即在高頻段WT(s)起主導作用，系統有較強的抵抗未知函數擾動的穩定能力。故二者符合選擇要求。

圖5 加權函數奇異值

三自由度直升機系統的部分電氣參數如表1所示。

表1 三自由度直升機系統電氣參數

本文三自由度控制系統是基于MATLAB中的Simulink工具箱搭建。為了驗證系統的穩定性和魯棒性，加入圖6所示的干擾信號。

圖6 角度干擾信號

圖7為加入干擾信號后三自由度直升機系統，分別在所述的自適應模糊H∞混合靈敏度魯棒控制下和基于LQR的PID控制下的飛行的實時輸出響應對比圖。從圖中可以分析：2種控制方法都能使直升機穩定運行，但自適應模糊H∞混合靈敏度魯棒控制方法具有更佳的控制效果。圖7(a)可以看出自適應模糊H∞混合靈敏度魯棒控制下的系統收斂時間大幅縮短，且超調量較小。從圖(a)和(b)看出，在高度過度階段和加入干擾角度后，自適應模糊H∞混合靈敏度魯棒控制有較強的擾動抑制能力，保證了直升機的平穩飛行，也顯示了該控制方法增強了系統的穩定性和魯棒性。

圖7 三自由度直升機系統輸出響應對比

4 結 論

本文對三自由度直升機系統的飛行控制進行了研究。針對系統的未知擾動，提出了自適應模糊H∞混合靈敏度魯棒控制方法，用間接自適應模糊理論在線逼近了非線性模型的未知參數，通過獲取適當的加權函數對直升機進行了H∞混合靈敏度優化，用Laypunov證明了系統的全局穩定性。通過與基于LQR的PID控制方法進行的對比實驗表明：2種方法都有較好的控制效果，但是自適應模糊H∞混合靈敏度魯棒控制方法縮短了系統的響應時間，減少了系統的跟蹤誤差，降低了超調量，并且減少了外界攝動，有很強的穩定性和魯棒性。

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