“任意角的三角函數”教學分析

孟瑩

選自教材：人教版（A版）《普通高中課程標準實驗教科書·數學必修4》，1.2.1任意角的三角函數，本節課為第一課時。下面我將分別從教學內容分析、教學目標設計、學生情況分析、教學策略設計四個方面對這節課進行分析和說明。

一、教學內容分析

三角函數是描述周期現象的重要數學模型，在數學和其他領域中都具有重要的作用。本節課首先學習任意角三角函數的定義，新教材改變了過去習慣用角的終邊上的點的坐標的“比值”來定義的做法，轉為利用單位圓上點的坐標來定義任意角的三角函數。新的定義可以更好地反映三角函數的本質，使得三角函數所反映的數與形的關系更加直接，數形結合更加緊密，也為后續學習帶來方便，從這個定義可以更加方便地推導同角三角函數的基本關系、誘導公式、和（差）角公式，而且為公式的記憶提供了圖形支持；單位圓為討論三角函數圖象與性質提供了很好的直觀載體。因此，學生理解和掌握任意角三角函數的定義是學好本章的基礎。

本節課是任意角的三角函數第一課時，屬概念教學。教材首先以銳角三角函數為引子，通過“思考”，提出用直角坐標系中角的終邊上點的坐標表示銳角三角函數的問題，以引導學生回憶銳角的三角函數的概念，體會引進象限角概念后，用角的終邊上點的坐標比表示銳角的三角函數的意義，從而為定義任意角的三角函數奠定基礎。然后再“特殊化”引出用單位圓上的點的坐標表示銳角的三角函數的結論，在此基礎上，再定義任意角的三角函數。

在給出了三角函數的定義后，教科書沒有直接給出他們定義域和函數值的正負，而是設置了“探究”，留給學生主動學習的空間，引導學生通過自己的思維活動得出結論。因此，我認為本節課的教學重點是：

1.任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。

2.三角函數在各個象限數值的符號。

二、教學目標設計

根據普通高中數學新課程標準對本節課的要求、本節課教材的特點，我認為通過本節課的教學要達到如下目標：

1.借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）定義，會初步應用定義解決與求三角函數值有關的一些簡單問題。

2.根據任意角三角函數的定義探究其定義域、函數值的符號，體會學習的樂趣。

3.經歷將銳角的三角函數的定義推廣到任意角的三角函數的定義的探究過程，體會數形結合的思想

三、學生情況分析

1.已有認知基礎

此前，學生在初中已經學過銳角三角函數的定義，對三角函數（正弦、余弦、正切）有一定的了解，并且學生剛剛學習了任意角與弧度制，也初步形成了利用直角坐標系來研究任意角的意識。因此本課從初中銳角三角函數的定義出發，過渡到把銳角置于直角坐標系中，學生具備了知識儲備和認知能力，符合知識的生成過程。

2.問題和困難

學生在初中階段曾經研究過銳角三角函數，沒有坐標系的參與，其研究目的是為解直角三角形服務。因此習慣了直觀用有關邊長的比值來表示銳角三角函數，對銳角三角函數的函數實質的認識并不深刻。所以用終邊上任意一點的坐標來表示銳角三角函數時可能會出現障礙，進一步用單位圓上的點的坐標表示銳角三角函數，與學生在銳角三角函數學習中建立的已有經驗也有一定距離。

在借助單位圓將銳角三角函數定義推廣到任意角的三角函數定義時，與學生在數學1的學習中建立起來的經驗也有距離。學生熟悉的函數是實數與實數的對應，而這里給出的函數首先是實數（弧度制）到點的坐標的對應，然后才是實數（弧度制）到實數（橫坐標或縱坐標或比值）的對應，這就會給學生的理解造成一定困難。

因此，我認為本節課的教學難點是：

（1）用單位圓上點的坐標刻畫三角函數。

（2）把三角函數理解為以實數為自變量的函數。

突破難點的方法與措施：

（1）建立聯系，穩步推進。先建立直角三角形中的銳角與第一象限角的聯系，再完成用角終邊上點的坐標表示銳角的三角函數。引入單位圓后，讓學生體會單位圓的作用，用單位圓統一定義三角函數，不僅沒有改變初中銳角三角函數定義的本質，同時還能定義任意角的三角函數。

（2）緊扣核心知識，加強直觀演示。首先，在銳角三角函數的基礎上緊扣函數的定義，讓學生體會變量之間的依賴關系和對應關系，然后在任意角的三角函數定義得出后，再討論變量之間的關系。同時，在例題和練習的分析和解決過程中可以進一步加深理解。

四、教學策略分析

根據本節課教學內容的特點和學生的實際，我準備采用 “體驗、溝通、合作、探究”與教師講授相結合的啟發式教學方法，并輔以多媒體演示進行教學。

在教學中讓學生經歷將已知知識進行轉化—特殊化—一般化的學習過程。降低認知臺階。其次圍繞學習目標設置了一系列符合學生認知規律的問題情景，將問題分解、具體化，通過具體認識一般。例題和練習解題思路求同，強化定義作用。

對于知識所蘊含的思想方法和知識生成的思維過程，輔以動畫演示，力求幫助學生主動思考，體會定義產生、發展的過程。由于研究范圍的改變，利用幾何畫板更加突出了任意角的三角函數是為研究客觀世界中大量存在的周期性現象服務的。這些都是在本課時學習之后應該取得的認知方面的進步。

本節課采用“啟發探索、講練結合”的教學方法，重在讓學生體驗新知識的發生過程，體會在任意三角函數定義的推廣中，是如何將直角三角形這個“形”的問題，轉換到直角坐標系下點的坐標這個“數”的過程的，環環相扣，層層深入，從而順利完成教學目標，培養了學生數形結合的思想。基于以上教學分析，我將完成“任意角的三角函數”的教學設計。endprint