試論高中數學中函數與方程思想的運用

武思明

摘要：函數作為高中數學的生命線，直接影響著我們的高考成績。然而，由于函數概念的抽象性太強，使得很多學生對此內容理解不夠透徹，很難從本質上掌握函數知識，可以說，函數學習已成為高中生求知途中的一項頑固任務。對此，我就函數與方程思想在高中數學學習中的體現做些浮淺的分析，希望對同窗們有所幫助。

關鍵詞：函數；方程；高中數學

作為高考熱重點內容的函數，一直滲透在中學數學的各個部分，可以說它是高中數學的中流砥柱。經多方面分析發現，其重要性還在日趨劇增。但是有相當一部分學生對這些章節的內容，根本得不到從本質上的理解和掌握，這就是造成在高考中失分的原因之一。下面我以實際例題，來談幾點解題方法。

一、函數圖像解題法

由圖知：它們的交點個數是：3，故答案為：3。

數形結合是一個重要的數學思想，就是使抽象思維和形象思維相互作用，實現數量關系與圖形性 質的相互轉化，將抽象的數量關系和直觀的圖形結合起來研究數學問題。利用數形結合思想解決數學問題也與目前提倡的新課程改革的思想是一致的。

二、運用均值不等式和三角函數的方法解決求值問題

求值問題一般包括求最值和求方程解的一些問題以及根據條件求范圍等一些相關問題。在求最值問題中特別是均值不等式和三角函數的方法運用得非常多，而且也比較的靈活。

例如：設a，b∈R，a2+2ab2=6則a+b的最小值是多少？

分析：已知一個二元二次方程，要想求a+b 的最小值，最常用的方法就是將已知的方程轉化為三角函數的方法。

即：因為6=a2+2b2>=根號（2×a2×2b2）=2|ab|。

所以-6=<2ab<=6。

所以-3=

又因為|a+b|>=|ab|=3。

所以a+b的最小值是-3。

例如：若a 是1+2b 與1-2b 的等比中項，則2ab|a|+2|b| 的最大值為多少？

分析：由a 是1+2b 與1-2b 的等比中項有a2+4b2=1。

2ab|a|+2|b|=21|b|+2|a|≤|b|·|a|2≤b2+（a2）22=a2+4b28=24。

所以當且僅當a=22，b=24或a=-22，b=-24 時，2ab|a|+2|b| 取最大值24。

三、運用方程思想解決函數問題

在三角函數中常常會用到函數與方程的思想來解決問題，運用函數和方程的有關性質解決某些問題，或用運動的觀點分析和研究具體問題的數量關系，再通過函數或方程的形式把這種關系表示出來加以研究，從而使問題獲得解決。有些從形式上并非函數問題，但經過適當的數學變換或構造，可使非函數問題轉化為函數的形式加以解決。

例如：已知方程cos2x+sinx-a=0有解，求a的范圍。

分析：將方程變形為a=cos2x+sinx，于是問題轉化為求函數f（x）=cos2x+sinx的值域。

解：設f（x）=cos2x+sinx，則f（x）=-2（sinx-14）2+98 ，當sinx=14 時，f（x）有最大值98 ，當sinx=-1 時，f（x） 有最小值-2，故-2≤a≤98。

例如：函數f（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分別為（ ）。（A）-3，1（B）-2，2（C）-3，（D）-2。

解析：由f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2（sinx- ）2+ ，當sinx=-1時，f（x）取得最小值-3；當sinx= 時，f（x）取得最大值 ；故選（C）。

例如：若9cosB-3sinA+tanC=0，sin2A-4cosB·tanC=0，求證：tanC=9cosB。

分析：本題由兩個等式推一個等式，一般是從等式變換中獲得，但由于各等式中所含的三角函數的名與角都不相同，就換一種觀點，先用方程來觀察已知式子的特征，變形得：9cosB+tanC=3sinA，9cosB·tanC=94sin2A ，于是，由韋達定理知9cosB，tanC 是二次方程x2-3sinAx+94sin2A=0 的兩個根，因為△=9sin2A-4×94sin2A=0，所以二次方程的兩個根相等，即tanC=9cosB。

另外，在三角函數中也通常與數形結合起來。數形結合可以將抽象的三角函數語言與直觀的圖形結合起來，把圖形的性質轉化為數量關系來研究，或把數量關系轉化為圖形的性質來確定，這樣可使數學問題得 到更好的解決。

四、運用方程及函數思想解決數列問題

數列是一種特殊的函數，它的定義域是正整數集或其子集。等差數列通項an=dn+（a1-d），前n項和Sn=d2n2+（a1-d2）n 在d≠0 時分別是關于n的一次函數、二次函數；等比數列通項an=anqn-1（q>0且q≠0） 是關于n的指數 函數，因此運用函數性質解決數列問題，是對數列概念的本質理解。

例如：已知數列{an}中，a1 =1，且點P（an，an+1）在直線x-y+1=0上。

求數列{an}的通項公式。

解：∵點P（an，an+1）在直線x-y+1=0上，即an+1- an=1且a1 =1。

∴數列{an}是以1為首項，1為公差的等差數列。

∴an=1+（n-1）·1=n（n≥2），a1=1也滿足。

∴an=n（n∈N*）。

例如：已知數列{an}的各項都是正數，且滿足：a0=1，an+1=1＼2 an （4-an），n∈N。

（1）證明an

分析：（1）先看當n=1時，根據題設求得a1，進而可知a0

（2）整理an+1=1＼2an4-an得，2（an+1-2）=-（an-2）2，令bn=an-2，代入2（an+1-2）=-（an-2）2整理求得bn，進而求得an。

解答：解：（1）1°當n=1時，a0=1，a1=1＼2a0（4-a0）=3＼2。

∴a0

2°假設n=k時有ak-1

則n=k+1時，ak-ak+1=1＼2ak-1（4-ak-1）-1＼2ak（4-ak）=2（ak-1-ak）-1＼2（ak-12-ak2）=1＼2（ak-1-ak）（4-ak-1-ak）。

而ak-1-ak<0.4-ak-1-ak>0，∴ak-ak+1<0。

又ak+1=1＼2ak（4-ak）=1＼2 [4-（ak-2）2]<2。

∴n=k+1時命題正確。

由1°、2°知，對一切n∈N時有an

點評：本題主要考查了數列的遞推式以及用數學歸納法解決問題的能力。

通過以上問題的解決與分析發現，只有我們在日常學習中善于運用函數與方程的思想來解題，經常將方程與函數有機結合，我們的函數思想才能不斷得到強化，我們的解題思路才能不斷拓寬，為更深層次地學習數學奠定堅實的基礎。

參考文獻

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