整體換元法在解題中的應用

陳卓序

摘要：數學是高中課程中的重要學科，數學作為一門邏輯思維很強的學科，在解題方法與解題步驟中，往往需要借助許多方法。其中，整體換元法是解答數學題的重要方法，整體換元法在數學解題過程中有著十分廣泛而全面的應用。本文立足于整體換元法的相關概念及理論，淺述整體換元法在解題中的應用，為數學這一學科的學習與數學習題的解答提供更加科學有效的方法。

關鍵詞：整體換元法；數學；解題；應用

一、整體換元法概述

1、整體換元法的概念。換元法是數學學科中的一個重要解題方法，它是指在解題過程中，將幾個變量或者一個關系式用一個新的變量表示出來，化繁為簡。其中，整體換元法是換元法中的重要類型，是指將幾個變量關系或者一個復雜的關系式用一個新的變量表示出來，從而將一些復雜的關系式簡便化，也將一些有關聯的變量聯系起來[1]。

2、整體換元法的意義。首先，從運算過程來講，整體換元法的意義在于，簡化運算過程，有利于運算過程的簡便化[2]。在解題過程中，有些復雜的關系式在計算和書寫的過程中，十分繁瑣困難，如果運用整體換元法，設一個新的變量，用該變量表示關系式，就能使得運算過程更加簡便化、標準化；另一方面，從解題思路來講，整體換元法有利于將分散的、有一定聯系的變量聯結起來，有利于將復雜繁瑣的數量關系整理為較為清晰、易于思考的關系。從這個意義上來說，整體換元是利用新引進的變量來等價替換原有的復雜變量，在思考與解題的過程中，始終將這些復雜變量當成一個整體，有利于思維的擴展與變量間關系的梳理[3]。

二、整體換元的類別

整體換元有許多類別，在高中數學的解題過程中，整體換元思想也有著十分廣泛且深入的應用。這里例舉幾種高中數學課本中較為常見的整體換元的類別，從而更好地研究整體換元思想，為學好高中數學理清思路。

1、局部換元。局部換元法是整體換元法的重要組成部分，它是指在一個復雜的關系式當中，引進一個新設變量（通常用字母表示）來代表原關系式中出現多次的關系式，從而簡化解題過程，使得解題思路與解題過程更加簡便又標準。例如，在解答不等式：4^x +2^x -2≥0時，通過對不等式的觀察之后，可以先設2^x =t（t>0），然后代入原不等式方程，就能輕松且正確地解答[4]。

2、三角換元。三角換元法在解答三角函數問題時有著十分重要的作用。在一個三角函數問題中，有較為復雜的根號形式，則可以引用新的變量來等價替換該根號形式的變量，或者用新的變量來等價替換滿足三角函數關系的變量，從而借助三角換元法進行三角函數問題的思考與解答。例如，當變量x與變量y滿足x2+y2 =r2（r>0）時，可以設x=rcosθ、y=rsinθ，從而解答三角函數問題。

3、均值換元。均值換元法是整體換元法中的另一種重要應用，是指在整體換元思想中，用新的變量形式來替換原有的數量關系，使得替換前的數量關系與替換后的數量關系是等價均值的。例如，當變量x與變量y滿足x+y=2S條件的時候，可以設x= S+t，則y=S-t，降低解題難度[5]。

三、整體換元法在解題中的應用

1、因式分解。整體換元法在解答因式分解題型時最為常見，由于因式分解題型中，關系式較為復雜，所以整體還原法是解答因式分解題的重要方法，例如在分解因式x4-x2-3=0中，可以設y=x2，從而將因式變形為y2-y-3=0。這就是整體換元法在因式分解中的簡單應用。

2、不等式。在解答不等式問題的過程中，常常運用整體換元法來解決復雜的數量關系。例如，在一元二次不等式f（2x-3）=x2+5x-3中，通過對題目的觀察后，可以設變量t=2x-3，則原方程式可以表達為x=（t+3）/2 ，因此f（t）={（t+3）/2}2+5（t+3）/2-3。這就是整體換元法在解決不等式問題中的簡單應用。

3、用驗證法求數列通項。在高中數學課本中，關于數列的問題，多數都涉及求解數列通項公式的問題。然而，許多數列中復雜的變量與關系式，會給思考與解題的過程增添許多麻煩與難度。因此，在用驗證法求解數列通項時，常常會運用整體換元的方法，將數列中復雜的關系式用一個新設變量表示，從而簡化解題過程。下面以一道用驗證法求解數列通項的題型為例進行分析：

四、結語

綜上所述，整體換元法是解答數學題中的重要方法，在數學解題過程中有著十分廣泛而全面的應用。研究整體換元法的意義在于更便捷化、標準化地解答不同類型的數學問題。作為高中生來說，數學學科是一門重要的學科，我們必須在日常的學習生活中，多思考、多練習，不斷開拓思維，善于用不同的方法與思路解決數學問題。另一方面，我們應該在刻苦學習的同時，善于觀察規律、總結規律，養成良好的數學分析能力與邏輯能力。

參考文獻

[1] 施鵬飛.例談解題中應用換元法策略[J].數理化解題研究：初中版，2010（12）：22-23.

[2] 黃慧.淺談換元法及其應用發展思維能力[J].數理化解題研究：初中版，2015（11）：15.

[3] 鄔虹萍.整體換元法幾例[J].上海中學數學，2009（11）：13-15.

[4] 羅燦，方厚良.用換元法使三角函數的學習“活”起來[J]中小學數學：高中版，2016（1）：106-107.

[5] 于志洪.三角函數換元法在代數中的應用[J].數學大世界：教學導向，2000（2）：67.endprint