基于時頻分析的混沌噪聲背景下諧波信號頻率估計

孫海欣，佐藤禮華

(1. 長春大學 電子信息工程學院， 長春 130022;2.大阪電氣通信大學 綜合信息學院，大阪 5408570)

0 前言

自從混沌現象受到關注以來，混沌信號已被證實廣泛存在于大自然中，在氣象、水文、通信等多個領域都有著廣泛的應用[1]。信息在實際傳輸與交換的過程中，均通過信號這一物理實體來實現。由于產生信號的設備本身和信號的傳輸環境往往具有隨機性，傳輸的信號中會出現附加噪聲和干擾，呈現出傳輸信號和混沌噪聲相混合的復雜信號，必須對其加以處理，才能提供給信息接收者使用。因此，必須有針對性地對混沌噪聲和白噪聲進行抑制，才能有效地提取傳輸信號的相關信息及參數。

本文采用由正交小波構造思想出發所構造的Daubechies小波和相關法相結合對淹沒在混沌噪聲背景下的諧波信號的頻率進行估計。該方法利用周期信號和混沌噪聲信號在小波不同尺度分解具有不同能量聚集性的特點，對混沌噪聲信號進行削弱，再利用周期信號的自相關特性，即當時延為信號周期整數倍時，周期信號的自相關函數也具有周期性的特點對周期信號的頻率進行提取。以諧波信號為例，對混沌背景下的諧波信號頻率進行估計。

1 相關法和Daubechies小波變換

1.1 相關法

假設被測周期信號為s(t)，在傳輸過程中引入混沌噪聲n(t)，s(t)和n(t)相互獨立。x(t)為諧波信號和混沌噪聲的混合，其形式如式(1)所示。

x(t)=s(t)+n(t)。

(1)

x(t)的自相關函數為：

Rx(τ)=E[x(t)x(t-τ)]=E{[s(t)+n(t)][s(t-τ)+n(t-τ)]}=Rs(τ)+Rn(τ)+Rsn(τ)+Rns(τ)。

(2)

由于n(t)和s(t)相互獨立，假設n(t)的均值等于零，則Rsn(τ)=Rns(τ)=0，式(2)可簡化為：

Rx(τ)=Rs(τ)+Rn(τ)。

(3)

根據周期信號的性質可知：周期信號的自相關函數仍為周期函數，且周期與周期信號的周期相同。設周期信號的周期為T，當τ=0或τ=T時，s(t)的自相關函數Rs(τ)取得最大值；而對于均值為零的非周期性混沌噪聲n(t)，其自相關函數Rn(τ)僅在τ=0時取得最大值，但當τ逐漸變大時，Rn(τ)逐漸衰減至零。因此，對于含有混沌噪聲的周期信號x(t)，當τ為T的整數倍時，自相關函數Rx(τ)僅僅體現Rs(τ)的變化情況，根據此性質即可估計出淹沒在混沌噪聲背景下的周期信號的頻率。

若引入的混沌噪聲均值不為零，則需要對噪聲進行均值零化處理，即根據：

E[x(t)+m]=E[x(t)]+m,m為常數

(4)

將式(1)變形為：

x(t)=s(t)+[n(t)-m]。

(5)

式中，m為噪聲的均值。式(5)保證了混沌噪聲的均值等于零。此時利用式(3)，即可從混合信號的自相關函數Rx(τ)中估計出周期信號s(t)的頻率[8]。

1.2 Daubechies緊支集正交小波變換

根據小波變換理論可知，正交小波分解具有良好的性質?？衫肕allat算法實現正交小波分解與重構的便捷遞推算法。本文采用Daubechies小波來構造正交小波，該小波具有光滑性，可以高精度地模擬和分析信號，并且具有很強的時域和頻哉局部化能力，Daubechies小波的構造原理如下：

緊支集標準正交尺度函數φ(t)滿足：

(6)

其中，M為有界正整數，H(ω)是周期函數，其周期為2π。H(ω)2近似為周期函數，其周期同樣為2π，且H(ω)2具有偶對稱性。從濾波器的通帶特性來看，H(ω)2具有低通特性，H(ω+π)2具有高通特性，H(ω)2和H(ω+π)2之和等于1。

由于H(ω)2是以2π為周期的偶對稱函數，用余弦級數形式可表示成：

(7)

(8)

由于H(ω)2具有偶對稱性，其Fourier展開系數ηn也具有偶對稱性。對式(8)進一步改寫為：

(9)

結合式(7)與式(9)，得出M=N，推導出H(ω)2的兩種表示形式，分別如式(10)和式(11)所示：

(10)

(11)

2 混沌噪聲背景下諧波信號的頻率估計

根據混沌信號的特性可知：混沌噪聲n(t)的能量主要集中在低頻段，而實際待測的諧波信號s(t)的頻率相對較高。根據兩種信號的頻率成分不同的特點，實現混沌噪聲和諧波信號的分離，從而有效估計出諧波信號的頻率。本文利用小波變換法和相關法相結合對混沌噪聲背景下諧波信號的頻率進行估計，該方法的基本原理是對被測信號x(t)進行小波分解，利用混沌噪聲與諧波信號在不同的分解尺度上具有不同的能量聚集性的特點，通過采取不同的尺度系數對含有混沌噪聲的諧波信號進行Daubechies小波重構，可將混沌噪聲和諧波信號分離。再利用相關法進一步計算，即可估計出諧波信號的頻率。算法的具體步驟為：

根據小波多尺度分解理論可知，N不同時，小波分解后的能量聚集特性不同。N越大，多尺度分解時濾波器的長度越長，濾波性能越好，但會導致時域定位性能惡化。對被測信號x(t)進行小波分解和重構時，對于不同類型的混沌噪聲，N的長度各不相同。本文通過仿真驗證，選取N=5 進行Daubechies小波分解。

本文通過信噪比來衡量Daubechies小波分解與重構前后，對混合信號x(t)中混沌噪聲n(t)的抑制程度，信噪比定義為：

(13)

3 仿真實驗及結果分析

本文假設混沌噪聲信號為Lorenz系統輸出的信號，Lorenz系統方程滿足：

(14)

式中δ=10，ρ=28，β=8/3。

(15)

圖1 估計出的諧波信號頻率

在下面的仿真實驗中，采用四階龍格-庫榙算法產生長度為5000的混沌噪聲數據，步長為0.01，Lorenz信號初值為x0=y0=z0=1，采樣頻率為100Hz。

實驗1：混沌噪聲背景下諧波信號的頻率估計。

假設n=1，A=5，f=5Hz，利用小波變換法和相關法相結合對Lorenz混沌噪聲背景下諧波信號的頻率進行估計，估計后的頻譜仿真結果如圖1所示。

保持諧波信號頻率f=5Hz不變，當幅度A變化時，諧波信號和混沌噪聲的信噪比變化如表1所示。根據表1的結果可知，當諧波信號的頻率f固定不變，信噪比與諧波信號的幅度呈正比關系。

表1 諧波信號幅度與信噪比的關系

實驗2：混合噪聲背景下諧波信號的頻率估計。

諧波信號參數為n=3，A1=3，f1=5Hz，A2=4，f2=7Hz，A3=5，f3=3Hz，淹沒在白噪聲和混沌噪聲構成的混合噪聲背景下，混合信號波形如圖3所示。從圖2中看不出任何諧波信息。利用小波變換法和相關法相結合，對混合信號進行頻率估計，混合信號的自相關函數如圖3所示，頻譜仿真結果如圖4所示。由圖4可以看出，諧波信號的3個頻率被準確的估計出來。

圖2 混合噪聲背景下的諧波信號波形圖

圖3 混合信號的自相關函數

圖4 估計出的諧波信號頻率

4 結語

本文提出了一種基于小波變換法和相關法結合的方法對混沌噪聲背景下諧波信號的頻率進行估計。根據諧波信號和混沌噪聲的自相關性不同以及在小波分解的不同尺度上的能量不同聚集性的特點，對混沌噪聲進行抑制，從而有效估計出諧波信號的頻率。該方法不需要對混沌噪聲信號的相空間進行重構，計算量小，易于實現。理論分析和仿真實驗表明，在信噪比較低的情況下，本文提出的方法能有效地估計出諧波信號的頻率，具有良好的抗噪性和實用價值。

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