電路分析中網絡定理解題應用的探究

孫楊 曹家琪

摘要：在電路分析的解題過程中，對于某些問題如果我們不對它們進行處理而是直接采用基爾霍夫定律進行求解，會十分的煩瑣。采用網絡定理對電路進行相應簡化，就可以減少計算量，避免出錯。本文將對網絡定理在解題中的應用進行一些探究。

關鍵詞：疊加定理 替代定理 戴維南定理 諾頓定理 最大功率傳輸定理 特勒根定理 互易定理

中圖分類號：TP311? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? 文章編號：1009-3044（2018）31-0245-03

1 疊加定理

1.1? 疊加定理的內容

當網絡中只有單個激勵作用時，相應與激勵成正比，符合齊次性。當網絡中有多個激勵同時作用時，總響應等于每個激勵單獨作用時產生的響應分量的代數和，符合可加性。

1.2? 疊加定理應用注意點

運用疊加定理的網絡應是線性網絡，非線性網絡可以用疊加定理;

疊加定理不能用來計算功率和能量，因為它們不是線性的;

應用疊加定理的易漏點是將獨立源置零，這個不能忘記;

受控源不同于獨立源，應該保留下來;

疊加計算響應的時候應該注意每個響應的方向。

1.3? 疊加定理的具體應用

在普通的線性網絡中，疊加定理的應用十分的常見。我們將電路中的其他獨立源置零，然后分別計算，最后疊加。

在正弦穩態電路中也是如此。我們將那些頻率不同的正弦量分開處理。分別求出它們獨立作用時的響應，最后化為相量形式進行疊加。

2 替代定理

2.1 替代定理的內容

在具有任意唯一解的集總參數網絡中，設已知某條支路k的支路電壓uk（或支路電流ik），且該支路k與網絡中的其他支路無耦合，如果該支路用一個電壓為uk的獨立電壓源（或電流為ik的獨立電流源）替代后所得的電路仍具有唯一解，則替代前后電路中支路電壓和電流保持不變。

替代定理的本質直觀地理解，就是用電路中一個端口所具有的電量大小的元件或元件組合替代該端口連接的部分，替代后不改變端口的拓撲結構，因而也就不改變KCL和KVL方程。這就相當于對于給定的一組線性或者非線性的解。而我們的替代只是相當于用一個我們求出的解去替代方程中的那個未知數。替代后并不會改變原方程的結構。

2.2 替代定理應用的注意點

替代定理的應用范圍十分的廣泛，適用于任意集總參數網絡，無論是線性的還是非線性的，時變的還是非時變的。

要注意區分的是，“替代”與“等效替換”是兩個不同的概念。我們平常所說的“替代”是用獨立電壓源或電流源將已知電壓或電流的支路替換掉 ，替代前后替代支路的拓撲結構和元件參數是不可以改變的。因為一旦改變，替代支路的電壓和電流也將隨之發生變化;而等效變換是兩個具有相同端口伏安特性的電路間的相互轉換，與變換以外電路的拓撲結構和元件參數無關，因此我們也常說等效變換對外等效對內不等效。

電壓源或者電流源不僅可以替代已知電壓或電流的支路 ，而且可以替代已知端口電壓或端口電流的二端網絡，這一點就更加拓寬了替代定理的應用范圍。

2.3 替代定理的解題應用

例1：線性時不變的電阻網絡如上圖所示。已知US=5cosωt V， RL=10Ω時，UL=2+2cosωt V， US=2 V， RL=5Ω時，UL=2V，則US=5 V， RL=20Ω時，負載電壓UL是多少？

根據例2電路和已知條件，直接運用電路知識難以求解.不妨將電阻RL用電流大小為iL=UL/RL的電流源替代，如圖6（b）.根據疊加原理，可以將RL上的電壓UL用電壓源US、網絡N和電流源iL三者單獨作用再疊加來表示。于是我們可以設UL=AUS+BUN+CiL。因為網絡N未知，但它實際上已經包含如我們的方程中了， 所以可以把它看作一個參數。不妨設UL=1，則我們可以得到下面這個方程組：

在我們求解含有動態元件的電路的時候。求出了動態元件的在0時刻的響應，我們也是用一個獨立電壓源或電流源替代這個動態元件，進而求下面的響應。

3 戴維南定理

3.1 戴維南定理的內容

當我們求出一個有源線性二段網絡的開路電壓和等效電阻后，我們就可以用一個與之相等的電壓源和電阻替換掉這個二端網絡。

在上一小節也提到過，戴維南定理是采用了等效的方法，與替代定理并不相同，要注意區分。

3.2 戴維南定理的應用

例2：如下圖所示的電路。若負載RL可以任意改變，問負載為何值時，功率最大？最大功率是多少？

在這道題目中，不含受控源。如果含有受控源，我們可以采取加壓求流法或者開路短路法求得等效電阻。

當我們求得了開路電壓和等效電阻之后，根據最大功率傳輸定理，我們可以知道在外電阻的阻值等于等效電阻的時候，功率可以取得最大值。

由于諾頓定理和戴維南定理十分類似，且在目前的解題過程中應用不如戴維南定理廣泛，于是我們就略過不講。

4 特勒根定理與互易定理

4.1 特勒根定理的內容

特勒根定理具有兩種形式：功率守恒與似功率守恒。

4.1.1 功率守恒

對于任一集總參數電路，所有支路在任一瞬間吸收功率的代數和為0。

前提條件：支路電壓 vk 滿足由該電路的拓撲結構所決定的KV L約束 ，支路電流 ik滿足由該電路的拓撲結構所決定的 KCL約束，同時，支路電壓與支路電流還要滿足該支路 k的支路方程。

4.1.2 似功率守恒

對于兩個具有相同拓撲結構的網絡。該所有支路電壓乘以對應支路的電流的代數和為0。

在這個形式中，電壓乘以電流不再具有功率的物理意義。但卻具有功率的物理量綱。于是我們把這個形式成為似功率守恒。

其實特勒根定理本身在解決題目上的應用不是特別的廣泛。因為涉及的變量很多，比較繁瑣。但是，由特勒根定理的第二形式（似功率守恒）我們可以推導出是個使用起來十分方便的定理，即互易定理。

4.2 互易定理

這張圖是兩個具有相同拓撲結構的網絡。由特勒根定理的似功率守恒，我們可以得到：

下面我們就用特勒根定理和互易定理來解幾道題目。

例3：

如上圖所示線性無源網絡N，當輸入端口是一個5A的電流源，輸入端口的電壓是10V時，另一端的響應是1A的短路電流。當輸入端口接一個5V的電壓源，輸出端口是一個阻值為4Ω的電阻時，求電阻上的電壓是多少？當圖b中輸入端的電壓源變為15V時，電阻上的電壓又是多少？

首先我們觀察這個電路，發現并不符合使用互易定理的三種形式，但是這兩個網絡又具有相同的拓撲結構，于是我們決定采用特勒根定理。

題目條件如圖中所示，根據圖a中的條件，求出圖b中的I_ab。

首先我們來分析這道題目。我們需要求得圖b中含有兩個獨立源，但是互易定理只適用于含有一個獨立源的電路中，所以我們采用疊加定理即可。于是 ，我們就將圖b分解為了圖c和圖d。

以上的兩道題目是用特勒根定理和互易定理來解決含有兩個網絡的題目。對于部分含有一個網絡的題目，我們也可以通過互易定理，交換獨立源和響應的位置，改變電路的結構，將電路化解為可以應用特殊規律的形式，比如可以利用電橋平衡或者星形電路轉化為三角電路等，達到簡化計算的目的。

參考文獻：

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