淺談恒成立與存在性問題的綜合應用

孫濤+易如躍

摘 要：恒成立問題與存在性問題是近幾年高考熱點之一，常出現于函數、不等式等問題中.主要探討了當恒成立問題和存在性問題出現在同一函數或不同函數時，孰先孰后如何解決等問題，旨在為以后解題提供一種思路.

關鍵詞：恒成立問題；存在性問題；最值；不等式

恒成立思想與存在性思想在近幾年高考數學中屢見不鮮，其分值一般較高.當其單一出現于一個題中時，解題較方便，在相關論文[1][2]中已有所介紹.但當兩個問題同時出現于同一函數或不等式時，先考慮恒成立問題還是先考慮存在性問題，還是同時考慮？這要根據具體問題的復雜性適時作出決定.

恒成立問題和存在性問題已經研究的很詳細了，其方法也相對成熟了.本文將從幾道題入手來探究同一函數或不同函數同時出現恒成立問題或存在性問題時，孰先考慮孰后考慮等問題.旨在總結一種方法提供一種思路.所涉及的主題思想如下：

（1）？坌x1∈[a，b]，？坌x2∈[c，d]，若f（x1）>g（x2）恒成立，則f（x）min>g（x）max.

（2）？坌x1∈[a，b]，？堝x2∈[c，d]，若f（x1）>g（x2）恒成立，則f（x）min>g（x）min.

（3）？堝x1∈[a，b]，？堝x2∈[c，d]，若f（x1）>g（x2）恒成立，則f（x）max>g（x）min.

例題1：已知函數f（x）=ax2+bx-lnx，a，b∈R.如對？坌b∈[-2，-1]，？堝x∈（1，e），使得f（x）<0成立，求實數a的范圍.

分析：本題既有？坌b∈[-2，-1]，？堝x∈（1，e），使得f（x）<0，是先解決恒成立問題還是存在性問題要具體對待，本題可先解決恒成立問題，讓問題參變量減少，再解決存在性問題.

解：令g（b）=ax2+bx-lnx，？坌b∈[-2，-1]，都有g（b）<0，只需g（b）max<0. g（b）=xb+ax2-lnx，？坌b∈[-2，-1]的圖像是一條線段，因為其系數x∈（1，e），故y=g（b）是增函數，g（b）max=g（-1）.

對？坌b∈[-2，-1]，？堝x∈（1，e），使得ax2+bx-lnx<0成立，即

g（-1）<0，即ax2-x-lnx<0.

即a<，？堝x∈（1，e）. 令h（x）=，a∵x∈（1，e），∴h′（x）<0，∴a

練習1：

已知函數f（x）=lnx，對？坌a∈[-1，0），若不等式f（x）

例題2：已知函數f（x）=x3-ex2+mx+1，（m∈R），g（x）=.

（1）求函數f（x）的單調區間.

（2）對任意的兩個正實數x1，x2，若g（x1）

分析：本題主要探究不同函數之間的恒成立問題，針對此題可以根據恒成立思想，分別考慮各自函數的最值，來解決問題.

解：

（1）略

（2）對任意的兩個正實數x1，x2，若g（x1）

解析：f′（x）=x2-2ex+m是開口向上的二次函數，在對稱軸x=e處取得最小值.

f′（x）min=f′（e）=m-e2，∵x∈（0，+∞），g′（x）=，令g′（x）=0，∴x=e，g（x）在（0，e）上為增函數，在（e，+∞）上為減函數，∴g（x）max=

g（e）=，故有m-e2>，∴m>e2+.

練習2：已知函數f（x）=+lnx，g（x）=x3-x2-3.

（1）討論函數f（x）的單調性.

（2）如果對于？坌x1，x2∈[，2]，都有x1f（x1）≥g（x2）成立，試求a的取值范圍.

本文通過兩個例題的精講以及兩個練習的精練，一是研究了恒成立問題和存在性問題在同一函數和不同函數中孰先孰后問題，二是鞏固了對文章中知識，思想的實際效果的檢測.總之，本文給以后解決此類問題指明了方向，提供了思路.

參考文獻：

[1]孫濤，易如躍.淺談高中數學變量分離法的應用及一題多解[J].讀寫算，2011（51）.

[2]易如躍，孫濤.淺談恒成立思想的推廣[J].中學生數理化（學習研究），2016（3）.

作者簡介：孫濤，男，漢族，皖合肥，研究生，中學二級教師，研究方向：恒成立問題與存在性問題；

易如躍，女，漢族，魯濟寧，研究生，中學二級教師，研究方向：恒成立問題與存在性問題。

？誗編輯 謝尾合