例說三角函數解題方法

蒲俊丞

摘 要：三角函數是高中數學重要的學習內容，求解這種題型的方法有很多種，但高中生常常局限于同一種解題思維之中。基于此，通過列舉具體的三角函數題型，分析四種求解三角函數的方法，旨在為高中生提供參考，豐富學習的方式，鍛煉多種思維能力，提高學習質量。

關鍵詞：三角函數；解題方法；思維能力

一、特殊角法求三角函數

在三角函數的教學中，會學習較多的誘導公式，但是如果求解相對復雜的角，學生很可能會無從下手，加之角度、弧度之間的轉化，無形中增加了解題的難度。因此，在學習中需要熟記30度、45度、60度等特殊角度的函數值，以此為基礎，更好地學習、掌握、判斷任意角象限[1]。

就弧度制角而言，只要分母值為6，就可以將其認作30度角，分母值為4時，其角度為45度，而分母值為3時，其角的度數為60度。另外，角度的正負是由象限決定的。

例1：求sin時，可以依據上述的方式進行求解。由于弧度角的分母為6，因此將其角度認作為30度，而sin30°的值為，由象限決定具體的正負。因為=4π+，便可明確該角度的象限為第三象限，因此角度的正弦值為負數，即sin等于-。

例2：求解tan-的數值，由于該弧度角的分母是3，所以可以認為角度為60度，因此正切值為，正負同樣由象限決定。-=-8π+，因此可以知道該弧度角位于第四象限，因此正切值為負數，即tan-等于-。

二、畫三角法求三角函數

在學習三角函數的初期，學生雖然將定義能牢牢記住，但是卻很難掌握三角的變換，無法準確掌握三角函數的解法。對于這樣的現象，學生可以利用定義求解三角函數。如圖1所示，在△ABC中，已知∠C為直角，sinA=∠A的對邊/斜邊，cosA=∠A的鄰邊/斜邊，tanA=∠A的對邊/鄰邊，cotA=∠A的鄰邊/對邊，即sinA=，cosA=，tanA=，cotA=。

例3：當tanα=3時，求sinαcosα的值。（選擇題）

（A）- （B） （C）- （D）

當解這道題時，可以畫一個三角形，將∠A作為α，由于，tanα=，假設a等于3，b等于1，結合勾股定理可以得出c==，那么sinα則等于=，conα則等于=，因此sinαcosα的值為×=，數值的正負則由象限決定。根據tanα=3可知，α位于第一象限或者第三象限，因此數值為正數，故此題的答案為D。

三、特殊值法求三角函數

在考試中，使用特殊值的方法求解三角函數比較方便，具有簡單易行的特點。如果題目中“暗示”為定值時，就可以使用特殊數值、特殊位置、特殊數列等方式，用具體的數值代替字母。

例4：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對應的邊為a、b、c，若a、b、c為等差數列，求的值。

方法一：使用特殊值法，擬定a=3，b=4，c=5，那么cosA等于，cosC=0，因此，=。

方法二：利用特殊角方法，A=B=C=，cosA=cosC=，因此，=。

例5：已知θ是任意角，求sec2θ·sec2θ·的值。如果在解題的過程中，現將公式簡化再進行計算，不僅會增加解題的難度，還會浪費大量的時間，因此可以使用題目中說是任意角，換言之，θ是什么角其計算結果都是一致的，因此可以將θ的角度設定為具體的30度，然后將30度帶入公式中，即sec230°·sec60°·=×2×=8，因此該題目的答案為8。

如果能夠掌握特殊值法求解三角函數，那么能夠大大降低解題的難度，提高解題的效率。

四、數形結合法求三角函數

數與形是數學課程中重要的基石，兩者之間存在密切的聯系，并且在解題的方式上能夠相互滲透，并且在特定的條件下能夠實現相互轉化，由此發展出數形結合的解題方式。在數學選擇題中，可以依據題目的具體內容，畫出草圖，以草圖中圖形的性質、位置、形狀等特征為基礎，結合平時學習的理論知識，得出具體的結論。使用數形結合方法求解三角函數的重點在于用數字確定圖形、用圖形輔助數字，所以需要重視題目中的數值、圖形等信息，以此來分析、探究三角函數的解題思路，能夠更快地找到恰當的解題方法，提高解題的效率，同時增強結果的準確性[2]。

例6：如果0≤α<2π，sinα>cosα，求α的取值范圍。（選擇題）

A.， B.，π C.， D.，

如圖2所示，因為sinα>cosα，所以sinα-cosα大于0，即2sinα-cosα=2sinα-大于0，又因為0≤α<2π，所以-≤α-<，即0<α-<π，所以答案為C。

綜上所述，對于很多高中生來說，求解三角函數具有很大的難度，但是其中蘊含著較多的技巧與方法，雖然其中缺乏嚴謹性與科學性，但是文中提及的解題方式能夠在一定程度上降低解題的難度。以此為基礎，在掌握三角函數的概念、理論、公式的基礎上，可以運用特殊角法、畫三角法、特殊值法等方式求解關于三角函數的習題，在提高解題效率的同時，鍛煉自身的思維能力與推理能力。

參考文獻：

劉繼勇.三角函數中的解題思路和方法[J].泰山鄉鎮企業職工大學學報，2011（3）：28-29.

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