例談由遞推式求數列通項公式的常用方法

馮宇晨

摘 要：數列在高考數學中出現的頻率非常高，所以，要想取得好成績，就要對求數列通項公式的方法進行研究。基于此，對由遞推式求數列通項公式的常用方法進行研究，其中包括公式法、累計相加法、累計相乘法、創造新數列法以及倒數法等幾種方法。通過對以上幾種方法的研究，提高遞推式求數列通項公式的推導效率。

關鍵詞：遞推式；數列通項公式；變換法

一、數列通項公式

要想對數列通項公式的推算方法進行詳細的研究，首先要清楚數列通項公式的計算方法以及本身的推導過程。數列通項公式的推導過程如下：在對數列通項公式進行推導的過程中，第一步要從數列通項公式中的特殊點以及概念入手。數列通項公式中通常會對n的范圍作出明確的界定，在對數列通項公式進行推導的過程中，可以將范圍內的特殊點帶入數列通項公式中去，由此便可以得出整個數列通項公式的推導范圍。大致方法為，將目前已知的公式，通過相加的方式，得出an的表達公式，進而推導出數列通項公式。

二、由遞推式求數列通項公式的常用方法

（一）公式應用法

在利用遞推式對數列通項公式進行推導的過程中，公式法是應用最為普遍的方法之一，公式法在應用的過程中，通常題干中會給出將要計算數列的公式，只需要對題干中的條件以及重要因素進行提取，通過找到兩個公式之間的關系，并對其進行計算，對兩個數列之間的關系進行推導。例如，通過研究{an}與{Sn}兩個數列之間的關系，從而得出a1與S1，a2與S2之間的關系，進而實現對數列通項公式的推算[1]。

（二）猜想法

猜想法的運用主要是對已知數列通項公式的規律進行猜想，并運用數列通項公式的性質對猜想出規律的正確性進行證明。這種方法的應用重點在于利用已知數列通項公式對猜想數列通項公式的正確性進行證明，而不是對通項公式的猜想，這種方法稱作猜想法。在運用此種方法進行數列通項公式推導的過程中，要保證對數列通項公式的普通推導方法非常熟悉，才能夠保證在證明猜想公式正確性的過程中不會出現錯誤。例如，已知S1、S2、S3的數列通項公式，求Sn的數列通項公式。通過對已知數列通項公式的分析，對要求的通項公式進行猜測，并加以證明。

（三）累計相加法

累計相加法指的是將已知數列通項公式進行相加，從而得到一個新型的數列通項公式。通過這種方法還能夠對數列通項公式進行求和計算，這種方法也是在對數列通項公式進行推導的過程中最常用的方法。

例如，已知S1、Sn，求Sn+1的數列通項公式，將已知的兩個數列通項公式相加，得到的另一個數列通項公式就是所求的數列通項公式。

（四）累計相乘法

累計相乘法在實際中的應用范圍要比累計相加法的應用范圍小一些，這種方法在計算過程中的應用難度也大一些。大概的應用思路是將已知數列整體相乘，得到一個新數列。通常運用這種方法的數列公式結構比較復雜，往往會出現比值的情況，加上分母不能為零的特殊要求，所以在n的取值范圍上要重點考慮，避免分母為零的情況出現。

例如，已知S1、g1，求g（S）的數列通項公式，通過對已知兩種數列通項公式相乘求積的方式，推導出所求數列通項公式。

（五）創造新數列法

創造新數列法也叫做待定系數法，就是將已知的通項公式帶入到要推導的數列通項公式中去，進而得出一個新的數列，也就是推導數列。通常情況下，這類數列推導題會在題干中給出幾個常數，將常數帶入進去，進行新數列通項公式的計算。這種方法的運用實質其實就是找到已知數列之間的相等關系，進而構造出一個平時練習中較為熟悉的通項公式結構模式，從而提高推導的準確性，降低推導難度。

（六）倒數法

倒數法主要是通過對已知數列通項公式采用取倒數的方式，從而形成一個新的數列通項公式，并對這個新的數列通項公式進行計算推導。在此種方法運用的過程中也應該注意分母不能為零，對n的取值范圍進行精準的制定。另外，在形成新的數列通項公式之后，可以利用上文中介紹的方法對數列通項公式進行計算。在此種方法應用的過程中應注意兩方面的問題，一方面是要取數列通項公式的倒數，另一方面要注意數列通項公式中差或者比的變化情況[2]。

隨著數列通項公式在高中數學中的地位越來越高，人們對數列通項公式推導方法的研究也越來越深入。本文通過利用遞推式對數列通項公式推導的常用方法進行介紹，提高了數列推導公式的推導效率，同時也降低了數列通項公式在推導過程中的復雜程度。由此可以看出，通過遞推式對數列通項公式的常用推導方法進行完善，能夠為今后遞推式在數列通項公式中的應用奠定基礎。

參考文獻：

[1]王濤.例談由Sn求數列通項公式的常用方法[A].教育教學研究（2016年版）第一輯[C]，2016：2.

[2]張穎.由遞推式構造新數列求數列通項公式[J].才智，2010（6）：104.

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