基于差分方程和元胞自動(dòng)機(jī)的交通阻塞模型

許珊珊　譚兵

摘要：在城市化進(jìn)程發(fā)展快速的當(dāng)下，車道被占用會(huì)帶來(lái)一系列的消極影響。通過(guò)計(jì)算修正的道路通行能力值，得到事故所處橫斷面實(shí)際通行能力會(huì)下降并持續(xù)一段時(shí)間。通過(guò)t檢驗(yàn)可以得到所占車道不同對(duì)橫斷面實(shí)際通行能力具有顯著性差異。然后建立了分段差分方程模型，得到了交通事故所影響的路段車輛排隊(duì)長(zhǎng)度與其他變量間的關(guān)系。當(dāng)交通事故發(fā)生是紅燈或綠燈時(shí)，估算了車輛排隊(duì)到達(dá)上游路口所需的時(shí)間，最后通過(guò)元胞自動(dòng)機(jī)的模擬仿真得到了很好的驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞：通行能力；ARMA模型；分段差分方程；元胞自動(dòng)機(jī)

中圖分類號(hào)：TB文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2018.04.088

1引言

車道被占用是指由于交通事故等各種原因，導(dǎo)致車道或道路橫斷面通行能力在單位時(shí)間內(nèi)降低的現(xiàn)象。在城市化進(jìn)程發(fā)展快速的當(dāng)下，車道被占問(wèn)題情況復(fù)雜，車道被占用極大程度上影響人民的正常工作生活。為此，根據(jù)2013年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題，采用數(shù)學(xué)方法分析建立相關(guān)模型，估算了其影響程度，將為交通部門(mén)處理類似問(wèn)題提供參考。

2模型假設(shè)

（1） 假設(shè)視頻 1，視頻2 中的車禍發(fā)生于同一橫斷面面，并且都完全占用兩條車道。

（2） 假設(shè)兩個(gè)小區(qū)路口出入的車輛對(duì)上游車流量的影響可忽略不計(jì)。

（3） 假設(shè)所有車輛嚴(yán)格遵守交通規(guī)則。

3模型的建立與求解

3.1數(shù)據(jù)的預(yù)處理

實(shí)際通行能力是指單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的標(biāo)準(zhǔn)小汽車當(dāng)量數(shù)，考慮到視頻中的實(shí)際情況，在本文中只考慮四輪及四輪以上的機(jī)動(dòng)車、摩托車及電瓶車。并且對(duì)公交車，摩托車等進(jìn)行當(dāng)量化的計(jì)算。通過(guò)公路工程技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，采用標(biāo)準(zhǔn)小汽車當(dāng)量數(shù)計(jì)算車型折算系數(shù)如表1所示。

由于紅綠燈以30秒為一個(gè)相位進(jìn)行變化，于是本文以30秒的時(shí)間為一個(gè)單位間隔對(duì)視頻1中通過(guò)車禍橫截面處對(duì)車輛進(jìn)行計(jì)數(shù)，由于16：42：32為車禍發(fā)生時(shí)間，所以本文從此時(shí)開(kāi)始計(jì)數(shù)。觀看視頻1我們可以得知，部分時(shí)刻的畫(huà)面存在缺失。對(duì)缺失的數(shù)據(jù)我們采用MATLAB進(jìn)行擬合得到。

可以建立t時(shí)刻的標(biāo)準(zhǔn)小汽車當(dāng)量數(shù)Ct的計(jì)算公式如下：

Ct=St1+0.5St2+1.5St3

其中Sti表示t時(shí)刻第i種車型的數(shù)量。

t時(shí)刻實(shí)際通行能力Yt的計(jì)算公式為：

Yt=120Ct

3.2模型的建立

ARMA模型（auto regressive moving average model）自回歸滑動(dòng)平均模型，這種方法是研究平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程有理譜的典型方法，適用于很大一類實(shí)際問(wèn)題。首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行AIC檢驗(yàn)，通過(guò)MATLAB編程得出當(dāng)p=3，q=3時(shí)，AIC達(dá)到最小值即AICmin=9923776，最后進(jìn)行chi2檢驗(yàn)，h=0說(shuō)明檢驗(yàn)通過(guò)，擬合的曲線為：

Yt=2.48Xt-1-2.21Xt-2+0.73Xt-3+εt-2598εt-1+2.41εt-2-0.7968εt-3

實(shí)際通行能力是基本通行能力與各修正系數(shù)的連乘積，其計(jì)算公式如下：

Y=Y0*FEQ*FLT*FRT*FLA*FFR

其中基本通行能力Y0是理想情況下每條車道單位時(shí)間內(nèi)能夠通過(guò)的最大交通量，其計(jì)算公式如下：

Y0=3600t0=3600l0v3.6=1000vl0pcuh

其中l(wèi)0=ld+lb+ls+lc

t0表示駕駛員反應(yīng)時(shí)間，取0.5s， l0表示車頭最小間距，ld表示駕駛員在反應(yīng)時(shí)間內(nèi)車輛行駛的距離，lb表示車輛的制動(dòng)距離，ls表示車輛間安全距離，lc表示車輛平均長(zhǎng)度。

由條件知車道寬度為3.25m，車輛平均長(zhǎng)度為各車車長(zhǎng)及其所占車流量比例乘積和，結(jié)合視頻有v=33km/h，ld=5.56，lb=10，ls=5，lc=3.42。求得Y0=1388.66。

各修正系數(shù)為：主支路流量不平衡影響修正系數(shù)FEQ=1-0.32lnx，左轉(zhuǎn)修正系數(shù)FLT=1-0.40x，右轉(zhuǎn)修正系數(shù)FRT=1+0.1x，交叉平面口大型車匯入修正系數(shù)FLA=1+0.20x，結(jié)合實(shí)際觀測(cè)出的各時(shí)段橫向干擾修正系數(shù)的值FFR=0.8，綜上可得到：

Y=Y0×[1-0.32×ln（qaq23）]×（1+0.1×q23qa）×（1+0.2×qlqa）×0.8

通過(guò)MATLAB編程求解得到模型值與通過(guò)視頻統(tǒng)計(jì)的實(shí)際值做出對(duì)比如圖1所示，從圖1可以看出，該模型計(jì)算的實(shí)際通行能力值是真實(shí)可靠的。交通事故發(fā)生至撤離期間， 事故所處橫斷面實(shí)際通行能力會(huì)下降且會(huì)持續(xù)一段時(shí)間。

3.3差異性檢驗(yàn)

為了說(shuō)明Yt1，Yt2的數(shù)據(jù)之間是否存在顯著性差異，我們通過(guò)SPSS軟件對(duì)其進(jìn)行T檢驗(yàn)，首先假設(shè)Yt1，Yt2之間不存在顯著性差異，檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示：

從表2可以看出，總體方差F=6.767， 對(duì)應(yīng)的概率p=0.011 小于顯著性水平=0.05，因此兩總體方差具有顯著性差異。對(duì)應(yīng)的t統(tǒng)計(jì)量p=0.000小于=0.05，故假設(shè)不成立，兩個(gè)總體的均值有顯著差異。即同一橫斷面交通事故所占車道不同對(duì)該橫斷面實(shí)際通行能力的影響具有顯著性差異。

3.4分段差分方程模型

由于交通流模型，考慮的是上游路段所有的車流量，不能清楚的計(jì)算出存在周期性的車輛數(shù)變化。我們?cè)诖嘶A(chǔ)上對(duì)其改進(jìn)，將上游路口的紅綠燈的變化來(lái)建立差分方程，這個(gè)過(guò)程分為兩種情況：當(dāng)發(fā)生交通事故時(shí)，上游路口為紅燈或綠燈。

考慮紅綠燈對(duì)流入車輛的影響，紅燈和綠燈的持續(xù)時(shí)間Δt=30s，紅綠燈時(shí)刻不同會(huì)導(dǎo)致隊(duì)長(zhǎng)的變化量不同，由于視頻1中事故發(fā)生時(shí)正好是紅燈亮的時(shí)候，于是有：endprint

S（t+Δt）-s（t）=λ1-μ+a1-a2（t∈（60k，60k+30））λ2-μ+a1-a2（t∈（60k+30，60k+60））

其中λ1表示紅燈的時(shí)候上游路口流入量，λ2表示綠燈的時(shí)候上游路口流入量，表示小區(qū)路口流入量，a2表示小區(qū)路口流出量，μ表示道路通行能力。事故持續(xù)時(shí)間t的單位是秒，k=0，1，2，…。

令w1=λ1-μ+a1-a2，w2=λ2-μ+a1-a2 ，w1表示紅燈下車輛的排隊(duì)數(shù)，w2表示綠燈下車輛排隊(duì)數(shù)。

解差分方程（8）得到：

S（t）=S（0）+k（w1+w2）+w1（t-60k）（t∈（60k，60k+30））S（0）+k（w1+w2）+w1+w2（t-60k-30）（t∈（60k+30，60k+60））

用MATLAB做出視頻1中隊(duì)長(zhǎng)時(shí)間變化如圖2所示。

根據(jù)圖2可以發(fā)現(xiàn)，排毒長(zhǎng)度呈現(xiàn)周期性變化。從式（9）可以看出實(shí)際通行能力越大路段車輛排隊(duì)長(zhǎng)度越小，路段上游車流量越大路段車輛排隊(duì)長(zhǎng)度越大。

3.5排隊(duì)時(shí)間的計(jì)算

中間道路往往最長(zhǎng)，直走的車輛所占比例最重為44%，S（T）=0.44Ml=140，其中l(wèi)=6（m）為平均車距和平均車長(zhǎng)之和，求出堵到路口需要的車輛M=53，考慮到系統(tǒng)的最大容量 Mmax=140×3l0=70， 隨著時(shí)間的變化，當(dāng)概率P53（t1）=maxP53（t）的時(shí)候也就是排隊(duì)最有可能排到路口的時(shí)候。

當(dāng)事故發(fā)生是紅燈的時(shí)候，視頻1的路段上游車流量為1500pcu/h（25puc/min），紅綠燈到達(dá)車流量比例分配為：

紅燈到達(dá)率：λ1=25×1.731.73+18.65=212（pcu/min）。

綠燈到達(dá)率：λ2=25×18.651.73+18.65=2280（pcu/min）。

在上面（8）式子中，a1=0，a2=1.5（pcu/min）。

對(duì)于上述分析，我們用MATLAB畫(huà)出持續(xù)時(shí)間和排隊(duì)長(zhǎng)度的變化如圖3所示。

有圖3可知，對(duì)于考慮交通燈的分段差分方程模型，當(dāng)交通事故發(fā)生時(shí)是紅燈，第一次到達(dá)53輛車需要543.02秒，即車輛排隊(duì)長(zhǎng)度到達(dá)上游路口需要9.05分鐘。當(dāng)事故發(fā)生時(shí)是綠燈，第一次到達(dá)53輛車需要450秒，即車輛排隊(duì)長(zhǎng)度到達(dá)上游路口需要7.5分鐘。

3.6元胞自動(dòng)機(jī)模型的仿真

元胞自動(dòng)機(jī)是利用簡(jiǎn)單編碼與仿真細(xì)胞繁殖機(jī)制的一種非數(shù)值算法空間分析模型。為了形象地描述這個(gè)道路，我們將汽車流量問(wèn)題離散化，在元胞自動(dòng)機(jī)模型中，我們令每個(gè)元胞對(duì)應(yīng)的實(shí)際長(zhǎng)度為4m。為了在 MATLAB 中實(shí)現(xiàn)這個(gè)想法，我們建立了一個(gè)很大的矩陣來(lái)對(duì)這個(gè)道路系統(tǒng)（忽略了支路的影響）進(jìn)行模擬。

我們對(duì)問(wèn)題四所描述的情況輸入到元胞自動(dòng)機(jī)模型中，由于單次的數(shù)據(jù)具有較大的隨機(jī)性，我們統(tǒng)計(jì)了100次排隊(duì)到達(dá)上游路口所需要的時(shí)間，得到排隊(duì)長(zhǎng)度到達(dá)上游路口所需時(shí)間的平均值為468s（7.8min），做出了時(shí)間-頻數(shù)直方圖如圖4所示。

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