與拋物線有關的動點問題解法賞析

韓樂

摘 要：動點問題一直是中考的難點和熱點，考查起點較高，具有很大的挑戰性和思維價值，全面考查了學生數形結合、函數與方程、分類討論等多種數學思想，對學生的綜合運用能力要求較高。主要介紹了構成特殊圖形的動點問題幾種情況，希望對實際教學及中考復習有一定的幫助。

關鍵詞：動點；轉化；分類

動點問題是歷年來中考命題的熱點，也是學生學習過程中感覺最難的題型，所謂“動點問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線或弧線上運動的一類題目。這類問題的解法策略有：（1）“動中求靜，以靜制動”是解決動態幾何最有效的方法；（2）在“動”中找到最恰當的位置“靜”下來是解決問題的起點；（3）在“靜”下來后，能抓住“靜”時的特征，尋找解決問題的突破口，是我們邁向成功的關鍵。

下面具體介紹幾種動點問題的解法以供大家參考。

一、點動構成平行四邊形

這種題常常需要根據平行四邊形的性質“對角線互相平分”或平行四邊形判定定理中的“一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”，結合兩點之間的距離公式（或勾股定理）、中點公式、兩條直線平行的條件以及點在函數圖象上的含義來求解。

例1.如圖1所示，拋物線y=x2+x-4與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，點P為拋物線上的動點，點Q是直線y=-x上的動點，試探討：當點Q在什么位置時，以P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？

分析：這里有兩個動點，初步審題也許會感到無從下手，但仔細觀察會發現，這里有一個“不變量”OB，其只可能有兩種身份：（1）平行四邊形的邊；（2）平行四邊形的對角線。設Q（m，-m），當OB是平行四邊形的邊時，線段PQ也為平行四邊形的邊，且OB與PQ為對邊，所以OBPQ，所以P（m，-m+4）或P（m，-m-4）。由于P在拋物線上，所以P點橫、縱坐標滿足函數解析式，分別代入求解，注意排除Q與O重合的情況；當OB為平行四邊形的對角線時，PQ也為平行四邊形的對角線，所以線段OB的中點也是線段PQ的中點，根據中點公式可以利用線段OB的中點坐標和點Q的坐標來表示出點P的坐標，同樣根據點P在拋物線上這一條件也可求出相應的m的值。

二、點動構成梯形

這類題型通常根據梯形的定義（只有一組對邊平行）、直線平行（不平行）條件、直線傾斜程度（斜率）k以及函數圖象交點坐標求法來解答。

例2.如圖2所示，拋物線y=x2-x與x軸交于A、O兩點，點D（3，-2）為拋物線上的定點，點M為拋物線上的動點，試探討：當點M在什么位置時，以O、A、D、M為頂點的四邊形為

梯形？

分析：這里有三條定線段：OA、OD、AD，他們均可能作為梯形的底邊，因此討論的依據就是他們分別作為梯形的底邊時點M應滿足的條件。以OD為梯形的底邊為例，當OD為梯形的底邊時，線段AM也為梯形的底邊，所以OD∥AM，且AD不平行OM，從而kOD=kAM，結合點A的坐標，求出直線AM的函數解析式，將其與拋物線的解析式聯立，求得M點的坐標，再檢驗kAD是否等于kOM，如果kAD≠kOM，則所求出的點M的坐標滿足題意，否則舍去該種情形。其余兩種情況依此進行，問題即可迎刃而解。

三、實際問題應用

（2012年安徽中考）如圖3，排球運動員站在點O處練習發球，將球從O點正上方2m的A處發出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）滿足關系式y=a（x-6）2+h。已知球網與O點的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點的水平距離為18m。

（1）當h=2.6時，求y與x的關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）

（2）當h=2.6時，球能否越過球網？球會不會出界？請說明理由；

（3）若球一定能越過球網，又不出邊界，求h的取值范圍。

我們只解答第（3）問，通過分析觀察，我們會發現這里的h實際上指的就是排球在運動過程中所能達到的最大高度，隨著h的變化，排球的運動軌跡（拋物線的位置）也在隨之不斷發生變化，這樣就給我們的解題帶來了一定的難度。但是只要我們認真分析就會發現，這里恰好有兩個相對靜止狀態：①排球恰好過網；②排球恰好不過界（落地時恰好落在邊界線上）。排球恰好過網，則當排球到達球網正上方時，排球的高度要比球網高，即×9+h>2.43；而要恰不過界，則排球的落地點離出發點的距離要不比18米大或當x=18時y小于或等于0。即即×144+h≤0，二者結合得h≥。

動點問題作為中考考點已經成為必然趨勢，問題的背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關系；分析過程中，特別需要注意關注圖形的特殊性（特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置關系）。在復習過程中，我們應做好這方面的復習工作。

參考文獻：

[1]葛香虎.中考數學“動點”型問題的解法剖析[J].新高考（升學考試），2015（12）：28-29.

[2]明欣.兵分三路，去搶占中考數學“動點”問題的制高點[J].新高考（升學考試），2016（12）：12-13.

[3]馬濤.中考數學動點問題研究[J].數學學習與研究，2011（12）：47-48.

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