線性代數教學中的理論聯系實際

譚小燕+馮玉玲

摘要：本文主要以向量組的線性組合、n維向量的內積、夾角等內容在實際生活中的應用為基點，探討了理論聯系實際在線性代數教學中的必要性，以及如何開展理論聯系實際，從而彌補傳統教學中的不足。

關鍵詞：線性代數；理論聯系實際；課程

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）03-0238-02

線性代數是代數學的一個分支，是主要處理線性關系問題的一門公共數學基礎課程。隨著現代科技的迅猛發展，線性代數課程已經在本科院校中的多種專業中普遍開設。線性代數所體現的幾何觀念與代數方法之間的聯系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹的邏輯推證、巧妙的歸納綜合等，對于強化人們的數學訓練，增益科學智能是非常有用的。但由于其課程內容本身的抽象性，學生在線性代數的學習中，對概念、定理、方法不能很好的理解和應用，尤其在理論的實際應用上更是感到迷茫，從而對其學習興趣不高。如何促進學生主動思考，增加教學的吸引力，提高學生的學習興趣，活躍課堂氣氛一直以來都是教學中需要思考并解決的問題。為此，本文主要論述理論聯系實際在線性代數教學中的實踐和作用，以在現實生活科技中的直接應用，激發學生的學習興趣，培養和提高學生學習中進行理論實踐的能力。

一、理論聯系實際在線性代數教學中的必要性

1.當前線性代數教學中的弊端。由于線性代數是從高中二元一次方程組、三元一次方程組到n元一次方程組求解以及從二元向量、三元向量到n元向量的一步步推廣，其中引入了很多新的數學工具：行列式、矩陣等。在傳統教學模式中，無論學生來自哪個專業，教師講授的課程都基本上是以工具教學為主，教給學生大量的知識內容，而很少提及這些數學工具在各個學生所在專業的應用或是在現實生活中的應用，更談不上線性代數中體現的數學思想的應用。這就造成了學生學習的理論與實踐的脫節，也讓學生在學習中感到這些知識如在云端，遙不可及，同時也造成了學生在學習過程中漸漸喪失主動性和積極探索的信心，無法提高學習興趣。

2.理論聯系實際的優點。雖然教師在教學中處于主導角色，但通過設計實際問題或聯系時事熱點問題，讓學生能主動思考所學內容的應用，與教師共同討論解決問題的對策，會從心理上引起學生極大的好奇心并滿足其解決問題的成就感。一方面可以激發學生的創造性和積極主動性，另一方面也可以促進學生發散思維、廣泛交流、共同學習，培養其優秀的自學能力以及解決問題的能力。

二、線性代數教學中理論聯系實際的實例

下面我們就從學生們較難理解的向量組的線性組合、向量的內積與夾角等內容來說明如何理論聯系實際。

1.生活中的飲食健康與向量組的線性組合。俗話說“早上吃飽，中午吃好，晚上吃少，零食寥寥”，我們就從數學上給出一定的解釋。提出“如何既要吃得好，又要身材好？”這樣的問題，從上課開始就初步引起學生的興趣，給出具體的問題——營養食譜問題?，F在假設有一個營養食譜，分為早餐、中餐、晚餐和零食，在營養食譜中我們只看蛋白質、脂肪、膳食纖維、維生素C，其中在一份早餐中含有蛋白質10克、脂肪6克、膳食纖維12克、維生素C10毫克，一份中餐中含有蛋白質15克、脂肪12克、膳食纖維4克、維生素20毫克，一份晚餐中含有蛋白質9克、脂肪7克、膳食纖維2克、維生素20毫克，一份零食中含有蛋白質6克、脂肪5克、膳食纖維2克、維生素0毫克，而為了保持身材，每天需要攝取的營養含量為蛋白質75克、脂肪60克、膳食纖維40克、維生素100毫克，那么每頓應該吃多少呢？帶著問題來學習“向量組的線性組合的內容”。學習過理論，關鍵是如何應用，這時再來解決開頭的營養食譜問題。對于這個食譜，早餐、中餐、晚餐和零食各應該吃幾份？換言之，應該怎樣組合早餐、中餐、晚餐和零食的營養才能達到我們希望的營養？首先將問題數學化。把早餐的營養含量抽象看成一個向量α1（10 6 12 10）T，把中餐、晚餐和零食的營養含量都看成一個向量：β（75 60 40 100），α2（15 12 4 20），α3（9 7 2 20），α4（6 5 2 0），那現在的問題就變成了α1、α2、α3、α4，怎樣組合才能得到β，也就是β能否寫成他們的線性組合呢？解方程：x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β。解方程組得到線性組合系數為：x1=2，x2=3，x3=1，x4=1。這也說明早餐吃2份，中餐吃3份，晚餐吃1份，零食吃1份，也正好符合了“早上吃好，中午吃飽，晚上吃少，零食寥寥”的飲食常識。

2.手機客戶端新聞分類與向量的內積、夾角。由于有直觀表示，二維向量、三維向量的內積、夾角容易理解，對于n維向量的內積、夾角，雖然是二維、三維的直接推廣，由于不再有直觀表示，學生在記憶這些知識時顯得有些機械。但結合生活中的實例或各專業中的背景，這將是一目了然的知識。下面我們就從手機的新聞客戶端說起。從學生常用的手機軟件提出問題，也可直接引起學生的興趣。大家每天都會用手機或電腦來看新聞，無論是搜狐客戶端還是新浪客戶端，在主頁上新聞都分成了很多類，有頭條、娛樂、生活、財經、軍事等，在資訊大爆炸的今天，幾乎每件事都是新聞。面對鋪天蓋地的新聞，新聞工作者或者新聞客戶端是怎么分類的呢？全靠人工分類顯然不可能完成的，那么電腦怎么自動分類呢？在課前拋出這樣的問題，讓學生帶著問題去尋找答案。等學習過向量的內積、夾角等概念后就來解決開頭所提的新聞分類問題。

首先，問題數學化。新聞是傳遞信息的，而詞是信息的載體。世界各國無論是哪門語言的“語文課”，教師教授寫作時都會強調特定的主題要用特定的描述詞。幾千年來，人類已經形成了這樣的寫作習慣，因此同一類新聞一定是某些主題詞用的較多，另一些詞用的較少。比如金融類的新聞，這些詞出現的頻率就很高，像“包子、宇宙”就出現的較少；像軍事類娛樂類的新聞，都會有一些頻率較高的特定詞匯。那么如何根據詞來判斷新聞是否是一類呢？對每個詞進行編號，同時每個詞就會有一個出現頻率比值，也就是說每個詞都對應了一個數，這樣的話一個新聞根據這些詞的數值就對應了一串數字。

其次，用所學知識解決問題。把新聞所對應的一串數字看成一個向量，那么每個新聞都對應了一個向量，現在的問題就轉化成了如何來度量兩個向量距離的遠近。從直觀上很容易看到，夾角越小，距離越近，夾角越大，距離越遠，所以只需要算下兩個向量的夾角，這樣就解決了這個問題。同時，這樣的方法也可以用來判斷兩個物種的基因的遠近。對這個問題，也可以結合學生不同的專業背景，例如，若是生物專業就從物種的分類提問題，等等。

三、結語

興趣是最好的老師。如何提高學生的學習興趣，一直以來都是課程設計的重要內容。一方面，知識是死的，需要用公式和數字去表達；另一方面，知識是活的，都是來源于生活。在生活、科技背景下，到處都體現著知識所蘊含的思想。因此，在教學過程中，適時地應用理論聯系實際，既可以引導學生抱著興趣從實際出發，來學習理論，又能引導學生應用理論知識，培養學生思考問題、解決問題的能力。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.工程數學線性代數[M].第6版.北京：高等教育出版社，2014.

[2]吳軍.數學之美[M].第2版.北京：人民郵電出版社，2014.endprint