從數(shù)學到物理

韓蕾+朱如鑫

摘要：電容元件是一種動態(tài)元件，它作為一種儲能元件是電子線路的重要組成部分，決定了電路的基本特性和功能。本文討論了《電路分析》課程中，電容元件電學特性的教學方法。采用尋根究源從數(shù)學角度出發(fā)落腳于物理特性的教學方法，有利于學生深刻理解電路元件的基本特性，并建立起嚴謹?shù)目茖W作風和抽象的思維方法。

關鍵詞：《電路分析》；電容元件；VCR；電學特性；儲能特性

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）03-0195-02

一、引言

《電路分析》是電子、電氣、自控、機電、計算機等電類各專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎課，也是電類專業(yè)的第一門專業(yè)基礎課，在教學上被安排為后續(xù)《模擬電路》、《數(shù)字電路》和《信號與系統(tǒng)》等課程的先修課程。《電路分析》研究電路的基本特性、基本理論和基本分析方法，主要討論電阻電路、動態(tài)電路的時域分析、動態(tài)電路的相量分析和S域分析方法。電容電感元件作為動態(tài)電路的組成部分，其特有的電學特性直接決定了電路的工作原理和分析方法。對電容電感等動態(tài)器件的物理特性的理解和應用，是電類專業(yè)從業(yè)者的基本技能。因此在《電路分析》課程中，需要通過采用一定的教學手段對電容和電感器件的物理特性進行深入講解和分析，帶領電類專業(yè)零基礎低年級本科生走進電學世界。本文介紹一種尋根究源地通過數(shù)學分析推導物理特性的教學方法，以電容元件為例，從元件的電壓電流關系（Voltage Current Relation，簡稱VCR）入手討論電容的基本物理特性，借助數(shù)學基礎與物理推論的完美結合，使學生更加深刻理解電路元件的工作原理和基本特性，為電路分析和電路設計打下堅實的理論基礎，同時建立起嚴謹?shù)目茖W作風和抽象的思維方法。

二、電容元件電學特性研究方法淺析

以電容元件為例，從數(shù)學演算出發(fā)講解其物理特性，主要包括定義、VCR和儲能特性。

1.電容元件的定義。電容元件是實際電容器的理想化模型，電容具有存儲電荷，進而存儲電場能量的作用，是一種儲能元件。

定義一個二端元件，如果在任一時刻t，它的電荷q（t）同它的端電壓u（t）之間的關系可以用q-u平面上（或u-q平面）的一條曲線（庫—伏特性曲線）來確定，則此二端元件稱為電容元件。如果u-q平面上的特性曲線是一條通過原點的直線，且不隨時間而變，則此電容元件稱之為線性時不變電容元件，此時電容的定義式為q（t）=Cu（t）。

2.電容元件的VCR和基本物理特性分析。

根據(jù)電容和電流的定義式，可推導出電容元件VCR的微分形式如式（1）所示，基于這一數(shù)學表達式可做出如下物理特性分析：

①微分形式VCR的數(shù)學推導過程實際上是從電荷變化的角度描述了電容的VCR。由（1）式可知，在某一時刻電容的電流，與此時刻的電壓兩端并無直接關系，而是取決于該時刻電容電壓的變化率，所以電容元件稱為動態(tài)元件，這是電容元件的第一個基本特性。

②根據(jù)微分的數(shù)學知識可知，當=0時i（t）=0，即當電壓u（t）隨時間變化率為零時，i（t）也等于零。將數(shù)學分析推論至物理意義，假如電容電壓不變或者是將直流電壓加載在電容的兩端，則電容電流為零，相當于開路，這就是電容的隔直效應，因此在電路中電容常被應用為一個交流耦合器件。如果電容電壓隨時間變化，則電流不為零，且電壓變化越快，電流就越大。這就意味著電容可以通過交流成分，且頻率越高越容易通過，由此可見電容是一個高通濾波器件，這是電容在電子系統(tǒng)中的一個非常重要的應用。

③數(shù)學上i（t）為有限值，也為有限值，即→∞是不成立的。回到物理分析，由于任何電流載體都有載流上限，電容亦然，所以電容兩端的電壓隨時間得變化率也是有限的，即電容兩端電壓不能躍變，這就是電容另一個重要電學特性——連續(xù)性。

通過數(shù)學表達式（2），又可做出如下物理特性分析：

①積分形式VCR的數(shù)學推導過程實際上是從電荷積累的角度描述了電容的VCR。表明，在某一時刻t電容電壓的數(shù)值u（t）取決于從-∞到t所有時刻的電流值，也就是說與電流全部過去歷史有關，這體現(xiàn)出電容元件具有記憶性的特點。

②根據(jù)式（2），可以計算經(jīng)過Δt的時間間隔，即電壓的變化量Δu。

（5）

式（5）即為電容元件的儲能公式，由此式可對電容的儲能特性作如下分析：

①依據(jù)數(shù)學特性平方項不可小于零，推及物理意義，可知電容儲能不能為負，因此電容是無源器件，雖然它可以與外電路發(fā)生能量交換，但僅限于是電容已經(jīng)儲存的能量，不可憑空向外提供能量。

②在u一定時，W與C呈正比例關系，在物理上講，這就意味著當端電壓相等時，電容值大的，期間儲存得能量更多，所以C代表了電容器儲存電場能的能力。

③由（4）式可知，在t1到t2期間供給電容的能量只與時刻t1和t2的電壓值u（t1）和u（t2）有關。因此，電容儲能多少與它的儲能過程無關且與電容的電流無關。電容作為儲能元件，它在某時刻儲存得能量多少僅取決于此時電容兩端的電壓值，因此u被稱為電容的狀態(tài)變量，是動態(tài)電路分析過程中要重點求解的電路變量。

三、取得成效與展望

將《電路分析》課程一些知識點的授課方法從純物理概念講解改變?yōu)閿?shù)學分析與物理教學相結合后，收到了顯著的效果。首先學生對電容元件的物理特性有了更充分深刻的理解，知其然更知其所以然；其次借助數(shù)學推導培養(yǎng)了學生嚴謹?shù)目茖W作風和抽象的思維方法；另外也從實際應用角度驗證了數(shù)學是理工科的研究基礎，使學生體會到數(shù)學是一門學有所用的基礎學科；尤其是有利于學生建立起理工科的整體知識結構。這種教學方法，在電路分析課程中還可應用于疊加原理、齊次定理、動態(tài)電路的時域分析等知識點的講解。

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